当您作为国有企业的员工，面临合同到期后单位不续签的情况时，您可以根据以下详细步骤和法律分析来妥善处理这一问题：
一、了解单位不续签的法律情形及经济补偿
需支付经济补偿的情形：
- 法律依据：根据《劳动合同法》的相关规定，如果劳动合同期满且非因劳动者原因（如用人单位未维持或提高劳动条件）导致合同终止，用人单位应当支付经济补偿。
- 补偿标准：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，补偿标准按该三倍数额支付，但补偿年限最高不超过十二年。这里的“月工资”指的是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
无需支付经济补偿的情形：
- 如果用人单位在维持或提高劳动合同约定条件的前提下提出续签，而劳动者不同意，则用人单位无需支付经济补偿。
二、劳动者应采取的应对措施
确认单位通知：
- 在合同到期前，用人单位通常会提前通知劳动者续签意向。请确保您已收到并理解了单位的通知内容。
与单位协商：
- 如果您对单位不续签的决定有异议，或者希望争取更好的经济补偿条件，可以与单位进行协商。在协商过程中，您可以提出自己的合理诉求，并尝试达成共识。
办理离职手续：
- 无论是否续签，合同到期后，您都需要与单位办理离职手续。这包括工作交接、财物归还、工资及福利待遇结清等。请确保这些手续得到妥善处理，以保障您的权益。
要求支付经济补偿（如适用）：
- 如果根据法律规定，单位应当支付经济补偿，请在离职手续办理完毕时要求单位一并支付。如果单位拒绝支付或拖延支付，您可以采取进一步措施来维护自己的权益。
三、争议解决途径
协商或调解：
- 如果与单位在续签或经济补偿问题上存在争议，首先尝试通过协商或调解解决。您可以请求劳动争议调解委员会、工会等第三方机构介入，帮助双方达成和解。
申请劳动仲裁：
- 如果协商和调解无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，请提供充分证据支持您的主张，如劳动合同、工资条、离职通知等。
提起诉讼：
- 如果对仲裁裁决不服，您还可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，请遵循法院的指导，提供必要的证据和材料，以维护自己的合法权益。
四、特殊情况下的处理建议
无固定期限劳动合同的签订：
- 根据《劳动合同法》的规定，如果您在单位连续工作满十年，或者连续订立二次固定期限劳动合同且没有严重过错或不胜任工作等情况，续订劳动合同时除您提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。如果单位在此情况下不续签，可能构成违法解除，您有权要求单位支付赔偿金。
寻求法律援助：
- 如果您对法律程序不熟悉或担心自己无法有效维护权益，可以寻求专业律师的帮助。律师可以为您提供法律咨询、代理仲裁或诉讼等服务，帮助您更好地维护自己的合法权益。
总之，在处理国有企业合同到期后单位不续签的问题时，请务必了解相关法律法规和政策规定，明确自己的权益和义务。与单位进行充分沟通，并在必要时咨询专业律师或寻求法律援助，以确保问题得到妥善解决。