开具父子关系证明通常涉及以下几种情况，我将分情况为您详细说明：

1. 户籍登记在同一户口簿的情况
   如果父子双方户籍在同一户口簿上，且户口簿中明确记载了父子关系（如“子”或“父”的标注），可直接携带户口簿原件到户籍所在地派出所申请出具《亲属关系证明》。派出所会根据户籍档案核实后加盖公章，此证明具有法律效力。

2. 户籍未在同一户口簿的情况

   • 出生医学证明：若子女有出生医学证明，且证明中记载了父母信息，可携带出生证原件及复印件，到父母户籍所在地派出所申请证明。
     
   • 公证处公证：若户籍档案或出生证明缺失，可到公证处办理《亲属关系公证》。需提供父子双方的身份证、户口簿、父母结婚证（如涉及婚生子女）、其他辅助材料（如人事档案、单位证明等），公证处会通过调查核实后出具公证书。
     
   • DNA鉴定：在极端情况下（如无任何书面证据），可通过司法鉴定机构进行DNA亲子鉴定，凭鉴定报告到公证处或派出所申请证明。

3. 特殊场景的补充说明

   • 涉外用途：若证明需用于国外（如移民、留学），需到公证处办理涉外公证，并经外交部或地方外事办认证（即“双认证”）。
     
   • 历史档案查询：若父母户籍曾迁移或档案遗失，可尝试到原户籍地派出所或档案馆查询历史户籍登记记录，作为辅助证明材料。

注意事项：

• 证明用途需明确（如办理继承、移民、入学等），部分机构可能要求证明中注明具体用途。
  
• 各地政策可能存在差异，建议提前电话咨询户籍地派出所或公证处所需材料清单。
  
• 若父亲已故，需提供死亡证明或户籍注销证明，部分场景可能需结合继承权公证处理。

如有其他细节问题（如材料格式、办理流程等），可进一步向我说明具体场景，我会为您补充解答。