合法开除员工是否需要赔偿，主要取决于开除的原因和是否符合相关法律法规的规定。以下是对此问题的详细分析：
一、合法开除无需赔偿的情况
根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，在以下情况下，公司可以解除劳动合同且无需支付任何赔偿或补偿：
试用期间不符合录用条件：若员工在试用期内被证明不符合录用条件，公司有权解除劳动合同。例如，公司明确规定了试用期的考核标准，员工未能达到这些标准，且公司有充分的证据证明这一点。
严重违反规章制度：员工如多次旷工、在工作场所打架斗殴等，且这些行为明确违反了公司规章制度中可解除劳动合同的条款，公司可依法开除员工。但需注意，公司的规章制度需经过民主程序制定并公示，且员工确实存在严重违反规章制度的行为。
严重失职或营私舞弊：若员工因故意或重大过失导致公司遭受重大经济损失，或营私舞弊导致公司利益受损，公司有权解除劳动合同。例如，员工利用职务之便，将公司财物据为己有，给公司造成重大损失。
与其他单位建立劳动关系：员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或经公司提出后拒不改正的，公司可解除劳动合同。例如，员工在另一家公司兼职，且该兼职工作严重影响了其在本公司的工作表现。
劳动合同无效：因特定情形（如欺诈、胁迫等）导致的劳动合同无效，公司可解除劳动合同。例如，员工在入职时提供了虚假的学历证明或工作经历，导致劳动合同无效。
被追究刑事责任：员工如因犯罪行为被人民法院判处刑罚，公司可解除与其的劳动合同。例如，员工因盗窃、诈骗等犯罪行为被判刑，公司有权立即解除劳动合同。
二、需要支付经济补偿的合法开除情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条、第四十一条的规定，在以下情况下，公司解除劳动合同需支付经济补偿：
员工患病或非因工负伤：员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作也不能从事公司另行安排的工作的，公司需支付经济补偿。例如，员工因长期患病无法继续从事原工作，且公司无法为其安排其他合适的工作岗位。
员工不能胜任工作：员工不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任的，公司需支付经济补偿。例如，员工因技能不足或工作态度问题无法胜任当前工作，且经过培训或调整岗位后仍无法改善。
客观情况发生重大变化：劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且公司与员工未能就变更合同内容达成协议的，公司需支付经济补偿。例如，公司因业务调整需要裁减某个部门，导致该部门员工的劳动合同无法继续履行。
经济性裁员：公司因经营困难、重整等原因需要裁减人员的，也需向被裁减的员工支付经济补偿。例如，公司因市场环境变化导致经营困难，需要裁减部分员工以降低成本。
经济补偿的计算方法：
经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。若劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍，则按三倍数额及十二年上限计算。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
三、需要支付赔偿金的违法开除情形
如果公司没有合法的理由或未遵循法定的程序开除员工，即属于违法解除劳动合同。在这种情况下，员工可以要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍。公司应依照《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定支付赔偿金。例如，公司未提前通知员工解除劳动合同，或未按照法定程序进行经济性裁员等。
总结与建议：
公司在开除员工时，必须严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。根据开除的具体原因和情况，公司可能需要支付经济补偿或赔偿金，也可能无需支付任何赔偿。因此，建议公司在处理员工开除事宜时，务必谨慎行事，确保合法合规，以避免不必要的法律风险和经济损失。如果您在劳动工伤方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。