结论：对于信用卡三千多元未还的情况，银行确实有权向法院提起诉讼进行追讨。然而，在实际操作中，银行是否会采取法律手段，还需综合考虑欠款金额、持卡人还款态度、欠款时间以及银行内部政策等多个因素。

详细分析：

1. 银行的起诉权利：

   • 根据相关法律法规，持卡人未按照与银行签订的信用卡领用合同约定按时还款时，银行有权通过法律途径追讨欠款。这意味着，即使欠款金额仅为三千多元，银行在法律上仍具备起诉的权利。

2. 实际起诉情况考量：

   • 欠款金额：三千元的欠款相对于银行的整体贷款规模来说可能不算特别大。因此，银行可能会优先考虑通过成本较低的方式，如电话、短信、邮件等进行催收，以追回欠款。
   • 持卡人还款态度：如果持卡人有积极还款的意愿，并与银行保持沟通，提出合理的还款计划，银行可能会倾向于协商解决问题，而暂时不起诉。相反，如果持卡人一直逃避催收，拒绝还款，银行则更有可能采取法律手段来维护自身权益。
   • 欠款时间：欠款时间的长短也是银行决定是否起诉的重要因素。在欠款初期，银行往往会通过温和方式进行催收。但若欠款持续数月甚至更长时间，且经多次有效催收仍未得到偿还，银行起诉的可能性会显著增加。
   • 银行内部政策：不同银行的内部政策差异也会影响其处理信用卡欠款的方式。有的银行在处理小额欠款时可能更倾向于协商解决，而有的银行则可能在欠款管理上更为严格，即便对于小额长期拖欠的款项也会采取法律手段。

3. 增加起诉可能性的情况：

   • 长期拖欠不还：持卡人逾期时间长，且经过银行多次有效催收后仍拒不还款，甚至故意躲避催收，这种情况下银行可能会选择起诉来解决问题。
   • 恶意透支嫌疑：如果银行认为持卡人以非法占有为目的进行恶意透支，如在明知无还款能力的情况下大量透支信用卡额度，并逾期不还款，即使欠款金额较小，银行也可能采取法律手段维护自身权益。

4. 法律后果与建议：

   • 法律后果：欠信用卡钱不还不仅是一种违约行为，还可能引发一系列严重后果。银行有权采取多种强制措施来追回欠款，包括但不限于冻结银行账户、查封财产等。在极端情况下，甚至可能面临刑事责任的追究。
   • 建议：面对信用卡欠款问题，建议持卡人尽快与银行联系，了解具体的还款方式和计划，避免逾期时间过长或欠款金额继续累积。及时还清欠款是降低被起诉风险的最有效方法。同时，持卡人应合理使用信用卡，避免再次出现类似逾期情况，以维护良好的信用记录。

总结：虽然信用卡三千多元未还被起诉的概率相对较低，但持卡人仍需高度重视，及时与银行沟通并制定还款计划，以避免可能的法律风险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。