结论前置：用人单位未与劳动者签订书面劳动合同即辞退员工，可能面临两方面的赔偿责任：一是因未签订书面劳动合同而需支付的双倍工资赔偿；二是因违法解除劳动关系而需支付的赔偿金。具体赔偿数额需根据劳动者的实际工作年限、月工资水平及辞退原因等因素综合确定。

一、未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系应订立书面劳动合同。已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同的，应在用工之日起一个月内订立。
   • 根据第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应向劳动者每月支付二倍的工资。

2. 赔偿计算：

   • 赔偿起始时间为用工满一个月后的第二天。
   • 赔偿截止时间为实际用工结束日（即辞退日），但最长不超过11个月。
   • 计算公式：双倍工资赔偿额 = 月工资 × 赔偿月数（最长11个月）
   • 举例说明：小张于2024年1月1日入职，未签合同，10月1日被辞退。则公司需支付2月1日至10月1日的双倍工资作为赔偿，共9个月。若小张月工资为5000元，则赔偿额为5000元 × 9 = 45000元。

二、违法解除劳动关系的赔偿

1. 合法与违法解除的界定：

   • 合法解除：若辞退符合《劳动合同法》规定的情形，如员工严重违反规章制度、被依法追究刑事责任等，用人单位无需支付赔偿。
   • 违法解除：若无合法理由辞退员工，则属于违法解除劳动关系。

2. 赔偿依据与计算：

   • 根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位违法解除或终止劳动合同的，应按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 经济补偿标准按劳动者在本单位工作的年限计算：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
   • 月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，赔偿标准按三倍数额支付，最高不超过十二年。
   • 计算公式：赔偿金 = 经济补偿标准 × 2 = （工作年限 × 月工资）× 2（若月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍，则按三倍计算，且最高不超过十二年）
   • 举例说明：小李在公司工作了3年零3个月，月平均工资5000元，被无理由辞退。则公司应向小李支付赔偿金为：3.5个月 × 5000元/月 × 2 = 35000元。

三、劳动者维权途径

劳动者为维护自身权益，应收集能证明劳动关系存在的证据（如工资支付记录、工作证、考勤记录等），并可通过以下途径解决纠纷：

• 与用人单位协商；
• 向劳动监察部门投诉；
• 申请劳动仲裁。

四、特殊情况说明

• 若用人单位能证明辞退员工有合法理由，如员工严重违反规章制度，则无需支付赔偿金。
• 未签合同情况下，若员工因自身原因被合法辞退，单位同样无需支付赔偿。但双倍工资赔偿仍可能适用，除非单位能证明未签合同的责任在员工。

综上所述，用人单位在未签订劳动合同的情况下辞退员工，需根据具体情况承担相应的赔偿责任。劳动者应了解自身权益，积极维权。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。