连带保证人在承担保证责任后，确实享有向债务人或其他相关责任人追偿的权利。这一权利的行使不仅涉及法律程序，还关乎实体权利的保障。以下是对连带保证人行使追偿权的详细解答：

一、追偿权的基础与法律依据

连带保证人追偿权的基础在于其已代替债务人向债权人履行了债务，这一行为基于担保法律关系的代偿性质。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，保证人承担保证责任后，有权在其承担责任的范围内向债务人追偿，并享有债权人对债务人的权利，但不得损害债权人的利益。这一条款为保证人行使追偿权提供了明确的法律依据。

二、追偿权的行使条件

1. 保证人已实际承担保证责任：这是行使追偿权的前提条件，需存在保证人代债务人清偿债务或履行其他保证责任的事实，包括主债务本金、利息及实现债权的费用等。

2. 无免责事由：保证人承担责任时不应存在欺诈、胁迫等导致责任免除的情形，且未放弃追偿权。

3. 在法定时效内主张：追偿权受诉讼时效限制，自保证人承担责任之日起三年内行使（特殊情形可能适用不同时效），因此需及时主张权利。

三、追偿权的行使方式

1. 直接向债务人追偿：

   • 协商还款：优先通过书面催告等方式要求债务人履行义务，尝试友好解决纠纷。
   • 提起诉讼：若协商未果，可向法院起诉主张追偿权，需提供代偿凭证等证据支持诉讼请求。
   • 申请强制执行：胜诉后，若债务人未履行判决，可申请法院强制执行债务人财产。

2. 向反担保人追偿（如有）：若存在反担保合同，保证人可直接向反担保人主张权利，无需先行向债务人追偿。

3. 代位行使债权人权利：保证人可代位行使原债权人对债务人的抵押权、质押权等从权利，但需注意不得损害债权人利益。

四、追偿权的范围与限制

1. 追偿范围：包括实际支付的债务本息、违约金、损害赔偿金及实现追偿权的合理费用（如诉讼费、律师费），但需以原债权范围为限。

2. 限制情形：

   • 若保证人过错导致损失扩大，扩大部分不得追偿。
   • 若债务人已进入破产程序，保证人需按破产法规定申报债权并参与分配。

五、行使追偿权的注意事项

1. 及时固定证据：保留代偿凭证、催款记录等材料，避免因举证不能影响追偿权实现。

2. 关注时效问题：定期核查诉讼时效状态，必要时采取中断措施（如发送催告函）以延长时效。

3. 协调多方关系：在存在多个保证人时，需明确内部分担比例；涉及反担保的，应同步处理相关权利义务，确保追偿过程顺利进行。

综上所述，连带保证人在行使追偿权时，需明确法律依据、满足行使条件、选择合适的行使方式，并注意追偿范围与限制以及相关注意事项。希望这些解答能对您有所帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时咨询。