被公司辞退且工作五个月的员工，补偿标准需分情况讨论，具体如下：

1. 公司违法解除劳动合同
   若公司无合法理由（如不符合《劳动合同法》第39条规定的过错情形）单方辞退，属于违法解除。此时员工有权主张赔偿金，计算方式为：

   • 经济补偿标准的2倍：工作5个月按0.5个月工资计算经济补偿，赔偿金即为0.5×2=1个月工资。
     
   • 工资标准：按解除劳动合同前12个月的平均工资计算（若工作不满12个月，按实际工作月数平均工资计算）。
     法律依据：《劳动合同法》第47条、第87条。

2. 公司合法解除劳动合同
   若公司因员工存在过错（如严重违纪、试用期不符合录用条件等）或客观情况重大变化（如经营困难、部门撤销）且履行法定程序（如提前30日通知或支付代通知金）解除合同，需支付经济补偿：

   • 补偿标准：工作5个月按0.5个月工资支付。
     
   • 例外情形：若员工存在过错（如被追究刑事责任），公司无需支付补偿。
     法律依据：《劳动合同法》第39条、第40条、第46条。

3. 公司未提前通知解除
   若公司未提前30日通知且无法定理由（如突发裁员未履行程序），员工除主张经济补偿或赔偿金外，还可要求代通知金（即额外支付1个月工资）。
   注意：代通知金仅适用于《劳动合同法》第40条规定的三种情形（如医疗期满、不能胜任工作等）。

建议行动步骤：

1. 核实公司辞退理由及程序（如是否出具书面通知、是否说明具体原因）；
   
2. 收集证据（劳动合同、工资记录、辞退通知等）；
   
3. 与公司协商补偿方案，若协商不成可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
   

如有进一步细节（如辞退具体原因、是否签订书面合同等），可随时向我补充说明，我会为您细化分析。