合法的收养关系认定主要依据《中华人民共和国民法典》以及《中国公民收养子女登记办法》的相关规定。以下是对合法收养关系认定的详细解答：

一、收养登记的基本原则

收养登记工作应当遵循最有利于被收养人的原则，同时保障被收养人和收养人的合法权益。这是收养关系认定的基本原则，确保了收养行为的正当性和合法性。

二、收养登记的机关

办理收养登记的机关是县级人民政府民政部门。这意味着，所有在中国境内进行的收养行为，都需要在县级民政部门进行登记，以获得法律上的认可。

三、收养关系的成立条件

1. 收养人条件：

   • 收养人应当具备完全民事行为能力。
   • 收养人应当无子女或者只有一名子女（特殊情况下可放宽）。
   • 收养人应当有抚养、教育和保护被收养人的能力。
   • 收养人未患有在医学上认为不应当收养子女的疾病。
   • 收养人应当年满三十周岁（无配偶者收养异性子女的，年龄差应当超过四十周岁）。

2. 被收养人条件：

   • 被收养人应当是丧失父母的孤儿、查找不到生父母的未成年人、生父母有特殊困难无力抚养的子女。
   • 在某些特殊情况下，如三代以内同辈旁系血亲的子女或继父、继母收养继子女，被收养人的条件可能有所放宽。

3. 送养人条件：

   • 送养人应当是孤儿的监护人、社会福利机构或者有特殊困难无力抚养子女的生父母。
   • 送养人送养子女时，应当征得其他有抚养义务的人同意（如生父母送养子女时，应当征得另一方的同意）。

四、收养登记的程序

1. 提交申请：收养关系当事人应当亲自到收养登记机关办理成立收养关系的登记手续。夫妻共同收养子女的，应当共同到收养登记机关办理登记手续；一方因故不能亲自前往的，应当书面委托另一方办理登记手续。

2. 提交证件和证明材料：收养人需要提交居民户口簿、居民身份证、婚姻状况证明、抚养教育被收养人的能力证明、身体健康检查证明等证件和证明材料。送养人也需要提交相应的证件和证明材料，如居民户口簿、居民身份证、同意送养的书面意见等。

3. 审查与登记：收养登记机关收到收养登记申请书及有关材料后，应当自次日起30日内进行审查。对符合民法典规定条件的，为当事人办理收养登记，发给收养登记证，收养关系自登记之日起成立；对不符合民法典规定条件的，不予登记，并对当事人说明理由。

五、收养关系的公告与查找

对于收养查找不到生父母的弃婴、儿童的，收养登记机关应当在登记前公告查找其生父母。自公告之日起满60日，弃婴、儿童的生父母或者其他监护人未认领的，视为查找不到生父母的弃婴、儿童。公告期间不计算在登记办理期限内。

六、收养关系的解除

如果收养关系当事人协议解除收养关系的，应当持居民户口簿、居民身份证、收养登记证和解除收养关系的书面协议，共同到被收养人常住户口所在地的收养登记机关办理解除收养关系登记。

综上所述，合法的收养关系认定需要满足一系列的条件和程序，包括收养人、被收养人和送养人的条件、收养登记的程序以及收养关系的公告与查找等。只有按照这些规定进行收养登记，才能确保收养关系的合法性和有效性。