开具行政不予立案通知书的情形主要包括以下几种：

1. 不符合立案条件：

   • 当行政机关认为案件不符合法律、法规规定的立案条件时，会开具不予立案通知书。这通常涉及案件的性质、事实是否清楚、证据是否充分、是否属于本机关管辖范围等因素。例如，如果案件不属于该行政机关的管辖范围，或者案件事实不清、证据不足，无法证明违法行为的存在，行政机关就会决定不予立案，并书面通知当事人。

2. 已过追诉时效：

   • 如果违法行为已经超过了法律、法规规定的追诉时效期限，行政机关也会开具不予立案通知书。追诉时效是法律对违法行为进行追究的时间限制，一旦超过这个期限，行政机关就不再对违法行为进行查处。

3. 重复立案或已处理：

   • 如果行政机关发现案件已经被其他机关立案处理，或者已经经过行政机关的处理并作出了决定，且该决定已经生效，那么对于同一案件，行政机关将不再重复立案，并会开具不予立案通知书告知当事人。

4. 当事人撤回申请或和解：

   • 在某些情况下，当事人可能主动撤回立案申请，或者与对方当事人达成和解协议，不再要求行政机关进行查处。在这种情况下，行政机关也会根据当事人的申请或和解协议，开具不予立案通知书。

法律背景与建议：

• 法律背景：行政不予立案通知书是行政机关在决定不予立案时，向当事人发出的书面通知。它不仅是行政机关行使职权的一种表现，也是保障当事人知情权、申诉权等合法权益的重要手段。

• 法律建议：

  • 如果您收到了行政不予立案通知书，但认为行政机关的决定有误，您可以根据通知书上的指引，在法定期限内向上一级行政机关申请复议，或者向人民法院提起行政诉讼，以维护自己的合法权益。
  • 在申请复议或提起诉讼前，建议您仔细研究相关法律法规，了解自己的权利和义务，以及行政机关的职权和程序，以便更好地准备复议或诉讼材料，提高胜诉率。

可能后果：

• 如果您对行政不予立案通知书不服，但未在法定期限内申请复议或提起诉讼，那么该通知书将产生法律效力，您将失去通过法律途径维护自己权益的机会。
• 如果您在复议或诉讼过程中未能提供充分的证据或理由来支持自己的主张，那么复议机关或人民法院可能会维持行政机关的原决定，即不予立案。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。