若在私立医院看病后未支付费用，医院有权通过合法途径追讨欠款，患者可能面临民事诉讼、信用惩戒等法律后果；若存在争议（如收费不合理、诊疗过错等），患者可通过协商、投诉或诉讼解决。具体分析如下：

一、医院追讨欠款的合法途径

1. 协商解决
   医院可首先通过电话、书面催告等方式与患者沟通，要求支付欠款。若患者因经济困难暂时无法支付，可协商分期还款或延期支付，并签订书面协议明确还款计划。

2. 民事诉讼
   若协商无果，医院可向法院提起民事诉讼，要求患者支付医疗费及可能产生的利息、违约金等。法院判决后，患者若仍不履行，医院可申请强制执行，冻结患者银行账户、查封财产或限制高消费等。

3. 信用惩戒
   若患者被纳入失信被执行人名单（即“老赖”），其出行、消费、子女教育等可能受到限制，例如无法乘坐高铁、飞机，无法入住星级酒店等。

二、患者可能提出的抗辩理由及处理方式

1. 收费不合理或存在乱收费

   • 抗辩依据：若患者认为医院收费项目不透明、超出政府指导价或存在重复收费，可要求医院提供收费明细，并核对当地物价部门发布的医疗服务价格标准。
     
   • 处理方式：若确实存在违规收费，患者可向当地卫健委、市场监管局投诉，或通过诉讼要求医院退还多收费用。

2. 诊疗过错导致纠纷

   • 抗辩依据：若患者认为医院存在误诊、漏诊、手术失误等过错，导致病情加重或产生额外费用，可主张医院承担部分或全部责任。
     
   • 处理方式：患者需通过医疗事故鉴定或司法鉴定证明医院过错，并据此要求减免费用或赔偿损失。若医院拒绝，可通过诉讼解决。

3. 未签订书面治疗协议

   • 抗辩依据：若医院未提前告知治疗费用或未与患者签订书面协议，患者可能以“未明确告知”为由抗辩。
     
   • 处理方式：根据《民法典》相关规定，医疗服务合同属于诺成合同，医院履行了诊疗义务后，患者仍需支付费用。但若医院未尽到告知义务，可能需承担部分责任，患者可据此协商减免费用。

三、特殊情形处理

1. 患者无支付能力
   若患者确因贫困、失业等原因无力支付，可向医院申请医疗救助或慈善援助，部分医院设有专项基金用于帮扶困难患者。

2. 未成年人或无民事行为能力人就医
   若患者为未成年人或无民事行为能力人，其监护人需承担支付义务。若监护人拒绝支付，医院可起诉监护人。

四、建议行动步骤

1. 核对费用明细：要求医院提供详细收费清单，核对每一项费用的合理性。
   
2. 协商或投诉：若存在争议，优先与医院协商；协商无果可向卫健委、市场监管局投诉。
   
3. 法律途径：若争议无法解决，可委托律师提起诉讼或应对医院起诉，维护自身权益。
   

提示：医疗费用纠纷涉及专业法律和医疗知识，建议根据具体情况选择合适方案。如有疑问，可直接向我咨询具体操作流程。