结论：公司不能仅因员工绩效改善不达标就直接辞退员工，必须遵循法定程序并满足特定条件。

一、合法辞退的前提与条件

1. 明确的绩效考核制度：

   • 公司需建立明确、合理、科学的绩效考核制度，该制度应经过民主程序制定，如职工代表大会或全体职工讨论，并与工会或职工代表平等协商确定。
   • 绩效考核制度需向员工公示或告知，确保员工知晓考核标准和流程。考核指标应清晰可量化，与员工的工作内容和职责紧密相关。

2. 证明员工不能胜任工作：

   • 公司需通过客观的考核记录（如工作成果数据、客户反馈等）来证明员工确实未达到既定的绩效标准。此标准应是在同岗位大多数员工能够完成的合理范围内。
   • “绩效不达标”与“不能胜任工作”在法律上并非同一概念，公司需确保考核结果的客观性和公正性。

3. 培训或调整工作岗位：

   • 在证明员工不能胜任工作后，公司需对员工进行培训或调整其工作岗位。培训内容应与提高工作能力相关，调岗应具有合理性，避免侮辱性或惩罚性。
   • 培训或调岗后，公司需再次对员工进行考核。若员工仍不能达到绩效标准，公司方可考虑解除劳动合同。

4. 法定解除程序：

   • 若公司决定解除劳动合同，需提前三十日以书面形式通知劳动者本人或额外支付一个月工资。
   • 同时，公司需按法律规定支付经济补偿金，具体标准按员工在本单位工作年限计算，每满一年支付一个月工资的标准，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿。

二、违法辞退的情形与法律后果

1. 无合理依据辞退：

   • 若公司没有明确的绩效考核标准，或绩效考核过程不公正、不透明，仅凭主观判断辞退员工，则构成违法辞退。
   • 员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金，赔偿金为经济补偿标准的二倍。

2. 未履行法定程序：

   • 若公司在辞退员工前未提前通知工会（如有），或未给予员工合理的申诉机会，同样可能构成违法辞退。
   • 员工可通过法律途径维护自己的合法权益，包括要求恢复劳动关系、支付赔偿金等。

三、操作建议与员工权益保护

1. 公司操作建议：

   • 公司应建立健全的绩效考核体系，确保考核过程的公正性和透明度。
   • 在处理员工绩效问题时，公司应确保所有步骤都符合法律法规要求，避免引发不必要的法律纠纷。
   • 在辞退员工前，公司务必充分沟通并保留相关证据，以应对可能的法律挑战。

2. 员工权益保护：

   • 员工认为公司以绩效为由辞退自己是不合法的，可以与公司进行沟通协商，要求公司说明辞退理由并提供相关证据。
   • 协商不成的，员工可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。

示例说明：假设某公司员工小张因绩效改善不达标被公司辞退，但公司未提前通知工会，也未给予小张合理的申诉机会。在此情况下，小张可以向劳动仲裁机构申请仲裁，要求公司支付违法辞退的赔偿金。若仲裁机构认定公司违法辞退，小张将有权获得经济补偿标准的二倍作为赔偿金。

综上所述，公司在处理员工绩效改善不达标的问题时，必须严格遵守相关法律法规和程序，确保辞退行为的合法性。同时，员工也应了解自己的合法权益，并在必要时通过法律途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。