若公司仅口头提及“有前科”但无实质行动，可能涉及侵犯名誉权或隐私权；若以此为由解雇或降薪，则可能涉及违法解除劳动合同或克扣工资，需结合具体行为判断。以下是详细分析：

一、公司行为是否构成侵权或违法？

1. 名誉权与隐私权保护
   根据《民法典》第1024条、第1032条，自然人享有名誉权、隐私权。若公司仅因主观猜测或未经核实的传言，公开或私下多次宣称您“有前科”，可能构成对您名誉权的侵害；若公司通过非法手段（如私自调查档案）获取您的前科信息，则可能侵犯隐私权。
   关键点：需证明公司存在“捏造事实”或“非法获取信息”的行为，且该行为导致您的社会评价降低或精神损害。

2. 劳动合同法视角
   若公司以“有前科”为由解雇您，需符合《劳动合同法》第39条规定的“被依法追究刑事责任”情形。若您仅曾受行政处罚（如治安拘留）或未被追究刑事责任，公司以此解雇则属于违法解除，需支付赔偿金（2N倍月工资）。
   例外：若您从事的是《刑法》第100条规定的“特定职业”（如公务员、法官、律师等），公司有权要求您如实报告前科，但需以“已追究刑事责任”为前提。

二、您可采取的应对措施

1. 收集证据

   • 保留公司提及“有前科”的书面记录（如邮件、聊天记录）、录音或证人证言；
     
   • 若公司曾调查您的档案，可要求其出示合法授权文件（如您签署的《背景调查同意书》）；
     
   • 查询自己的无犯罪记录证明（可通过“天府通办”等平台申请），以证明公司陈述不实。

2. 协商或投诉

   • 向公司人力资源部门提出书面异议，要求停止侵权行为并澄清事实；
     
   • 若公司拒绝，可向当地劳动监察大队投诉（针对违法解雇或克扣工资）或向法院起诉（针对名誉权、隐私权侵害）。

3. 法律救济途径

   • 名誉权/隐私权纠纷：可依据《民法典》第179条要求公司停止侵害、赔礼道歉、赔偿损失（包括精神损害抚慰金）；
     
   • 劳动争议：若公司违法解雇，可申请劳动仲裁要求继续履行合同或支付赔偿金；若公司以此为由降薪、调岗，可主张补发工资或恢复原岗位。

三、特殊情形提示

• 前科披露的合法边界：根据《刑事诉讼法》第285条，犯罪记录信息仅供司法机关查询，公司无权自行调查。若公司通过非法渠道获取信息，您可向公安机关报案。
  
• 行业限制：若您从事的是《保安服务管理条例》第17条规定的“曾因犯罪受过刑事处罚”不得担任保安的情形，公司有权解雇，但需以“刑事处罚”为前提（行政处罚不适用）。

建议：先与公司沟通明确其依据，若无法解决，可携带证据材料进一步向我咨询，我会帮您制定具体维权方案。