结论前置：员工打架后开病假，用人单位能否辞退需根据具体情况判断。若员工严重违反公司规章制度或构成刑事犯罪，用人单位可依法辞退且无需支付经济补偿；若打架情节轻微或公司规章制度无相关规定，则不可随意辞退，否则可能面临法律风险。

可以辞退的情形：

1. 严重违反公司规章制度：

   • 若公司规章制度明确将打架行为规定为严重违纪，且该规章制度已通过民主程序制定并向员工公示，那么员工打架后，用人单位有权依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，以严重违反用人单位规章制度为由辞退员工。例如，员工因打架行为严重破坏了工作秩序，且该行为已被公司规章制度明确禁止，用人单位即可依法辞退。

2. 构成刑事犯罪：

   • 若员工打架行为触犯刑法，被依法追究刑事责任，如因打架致人重伤被法院判处有期徒刑，用人单位同样可依据《劳动合同法》的相关规定，解除与涉刑员工的劳动合同。

不可以随意辞退的情形：

1. 规章制度无明确规定：

   • 若公司规章制度中未将打架行为列为严重违纪，或规章制度的制定不符合法定程序（如未通过民主程序制定或未向员工公示），那么直接以打架为由辞退员工可能被认定为违法解除劳动合同。此时，用人单位需支付赔偿金，赔偿金标准为经济补偿标准的二倍。

2. 打架情节轻微：

   • 即使公司规章制度有相关规定，但打架情节显著轻微，未对工作秩序、单位形象等造成较大影响，用人单位也应谨慎处理，避免直接辞退。因为在此情况下，直接辞退可能被认为处理过重，从而面临法律风险。

处理建议：

1. 及时调查事实：发生打架事件后，用人单位应立即进行调查，了解事件的起因、经过和后果，以便为后续处理提供依据。

2. 依据规章制度评估：根据调查结果和公司规章制度，对员工打架行为进行客观评估，判断是否构成严重违纪或刑事犯罪。

3. 合法合规操作：在处理过程中，用人单位应确保所有操作都符合法律法规的要求，如事先通知工会（若建立了工会组织）、遵循法定程序等，避免违法解除劳动合同。

4. 加强员工教育与预防：通过加强员工教育和管理，提高员工的法律意识和纪律观念，预防类似事件的再次发生。例如，可以定期组织法律培训、开展纪律教育活动等。

后续行动建议：若您作为用人单位面临此类问题，建议先详细了解打架事件的具体情况，再依据公司规章制度和法律法规进行评估和处理。若您作为员工对辞退决定有异议，也可以依法维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。