关于延迟退休背景下，公司六十岁辞退员工是否有补偿的问题，这主要取决于辞退的原因以及是否符合相关法律法规的规定。以下是我从不同角度为您进行的分析：

1. 如果辞退是合法的，比如员工达到法定退休年龄且开始享受基本养老保险待遇：

   • 在这种情况下，公司辞退员工通常不需要支付经济补偿。因为根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者开始依法享受基本养老保险待遇的，劳动合同终止。这意味着，一旦员工达到退休年龄并开始领取养老金，其与公司之间的劳动合同就自然终止了，公司无需为此支付额外的经济补偿。

2. 如果辞退是非法的，比如公司以员工达到六十岁为由单方面解除劳动合同，但员工并未达到法定退休年龄或未开始享受基本养老保险待遇：

   • 在这种情况下，公司辞退员工可能构成违法解除劳动合同，需要支付经济补偿。经济补偿的标准通常按照员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
   • 计算公式：经济补偿 = 工作年限 × 月工资（工作年限不足一年的按比例计算，如0.5年则支付半个月工资）

3. 特殊情况下的考虑：

   • 如果员工虽然达到六十岁，但并未达到法定退休年龄（比如某些特殊工种或地区的退休年龄可能有所不同），且公司以此为由辞退员工，那么这同样可能构成违法解除劳动合同，需要支付经济补偿。
   • 另外，如果员工与公司之间有特别的约定（如合同中明确规定了辞退补偿条款），那么这些约定也将作为判断公司是否需要支付补偿的依据。

建议：

• 如果您或您身边的人遇到了类似的情况，建议首先与公司进行沟通，了解辞退的具体原因和依据。
• 如果公司无法提供合理的解释或依据，或者您认为公司的辞退行为违反了相关法律法规的规定，那么您可以考虑向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。

最后，劳动法律法规涉及的内容较为复杂，且可能因地区和行业而有所不同。因此，在处理具体问题时，建议您咨询专业的劳动法律师或相关机构，以获取更准确和全面的法律建议。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。