您好，关于与教师签订协议是否可以签10个月的问题，这主要取决于具体的招募或聘用政策以及双方协商的结果。

首先，从一些公开的招募信息来看，比如吐鲁番市托克逊县招募“银龄讲学教师”的公告中，就明确提到了协议可以一年一签，且具体服务期限为10个月。这说明，在某些特定的招募项目中，与教师签订10个月的协议是完全可行的。

然而，对于一般的聘用情况，比如学校与教师之间的常规聘用，协议期限可能会根据学校的具体需求、教师的个人意愿以及相关法律法规的规定来综合确定。在这种情况下，虽然10个月的协议期限不是常见的标准，但如果双方能够达成一致，并且符合相关法律法规的规定，那么这样的协议也是可以签订的。

另外，值得注意的是，无论协议期限如何，双方都应该明确协议中的各项条款，包括但不限于工作内容、工作地点、工作时间、薪酬待遇、社会保险、福利待遇、违约责任等。这样可以确保双方的权益得到充分保障，避免在协议履行过程中出现不必要的纠纷。

最后，我建议您在签订协议前，仔细阅读并理解协议中的各项条款，如果有任何疑问或不确定的地方，可以及时向学校或相关部门咨询，以确保自己的权益得到充分保障。希望这些信息能够对您有所帮助。