结论前置：在符合法定情形时，公司辞退员工可以不支付赔偿。以下分情况详细说明：

1. 员工存在过错性解除情形

   • 具体情形：根据《劳动合同法》第三十九条规定，员工有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同且无需支付经济补偿：
     • 在试用期间被证明不符合录用条件的。例如，公司明确规定了某岗位试用期的考核标准，员工在试用期内经考核未达到该标准，公司能够提供相关考核证据证明其不符合录用条件，此时辞退员工无需赔偿。
     • 严重违反用人单位的规章制度的。公司需有合法有效且已向员工公示的规章制度，员工的行为严重违反该制度，比如公司规定员工不得在工作场所打架斗殴，某员工违反此规定并造成恶劣影响，公司据此辞退员工可不赔偿。
     • 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的。例如，员工负责公司的财务工作，因严重失职导致公司资金被盗取，给公司造成重大经济损失，公司可以辞退该员工且无需赔偿。
     • 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的。比如员工在本职工作时间内为其他公司工作，严重影响本职工作进度，经公司提出后仍不改正，公司可解除劳动合同且不赔偿。
     • 因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的。即员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，公司发现后可辞退员工且无需赔偿。
     • 被依法追究刑事责任的。例如员工因犯罪被判处刑罚，公司可以解除劳动合同且不支付经济补偿。
   • 操作要点：公司在辞退员工时，需要承担举证责任，证明员工存在上述过错行为。因此，公司应保留好相关证据，如考核记录、规章制度、监控视频、员工自认的书面材料等。

2. 员工主动提出解除劳动合同

   • 具体情形：如果员工因个人原因主动向公司提出解除劳动合同，公司同意解除的，这种情况下公司无需支付经济补偿。例如，员工因家庭原因需要回到老家发展，向公司提交书面辞职申请，公司批准后，双方解除劳动关系，公司无需赔偿。
   • 操作要点：公司应要求员工提交书面的辞职申请，明确辞职的原因和离职时间等信息，以避免后续可能出现的纠纷。

3. 劳动合同期满，公司维持或提高条件续订而员工拒绝

   • 具体情形：根据《劳动合同法》第四十六条规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，依照本法第四十四条第一项规定终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。也就是说，如果劳动合同期满，公司提出以不低于原劳动合同的条件与员工续订劳动合同，但员工拒绝续订，此时公司终止劳动合同无需支付经济补偿。
   • 操作要点：公司应在劳动合同期满前与员工沟通续订事宜，并保留好相关沟通记录，如书面通知、邮件等，以证明公司已提出维持或提高条件续订劳动合同，而员工拒绝。