结论：公职人员第一次因赌博被严重警告，影响期之后又因赌博被行政处罚，其处分情况需根据具体情节、后果及单位规定等多方面因素综合判断，但通常可能面临更严厉的纪律处分，甚至可能涉及刑事责任。以下从多个角度进行详细分析：
一、纪律处分角度
初次违纪与再次违纪的区分：
- 初次赌博被严重警告，是单位对公职人员违纪行为的一种纪律处分，旨在警示其改正错误。
- 影响期之后再次因赌博被行政处罚，表明公职人员未吸取教训，继续违纪，性质更为严重。
纪律处分的升级：
- 根据《中华人民共和国公职人员政务处分法》等相关规定，公职人员违纪行为情节严重的，可以给予更严厉的纪律处分，如撤职、开除等。
- 再次因赌博被行政处罚，很可能被视为情节严重，从而面临更严厉的纪律处分。
单位内部规定：
- 不同单位可能有不同的内部规定，对公职人员违纪行为的处分标准也可能有所不同。
- 因此，具体处分情况还需参考单位内部的相关规定。
二、法律责任角度
行政处罚：
- 公职人员因赌博被行政处罚，如罚款、拘留等，这是对其违法行为的直接法律后果。
- 行政处罚记录可能成为单位对其纪律处分的重要依据。
刑事责任：
- 如果公职人员的赌博行为构成犯罪，如赌博罪，则可能面临刑事责任，包括有期徒刑、拘役、罚金等。
- 刑事责任是更为严重的法律后果，对公职人员的职业生涯和声誉将产生极大影响。
三、综合判断与建议
综合判断：
- 公职人员再次因赌博被行政处罚，其处分情况需综合考虑违纪情节、后果、单位规定以及是否构成犯罪等多方面因素。
- 通常，这种行为很可能导致更严厉的纪律处分，甚至可能涉及刑事责任。
建议：
- 公职人员应严格遵守法律法规和单位规定，杜绝赌博等违纪行为。
- 如果已经因赌博受到纪律处分或行政处罚，应深刻反思，积极改正错误，避免再次违纪。
- 如面临纪律处分或法律责任追究，应积极配合调查，如实陈述事实，争取从轻处理。
进一步思考：公职人员作为国家公职的代表，其言行举止受到社会广泛关注。赌博等违纪行为不仅损害个人形象，也影响单位声誉和国家形象。因此，公职人员应时刻保持警惕，严格自律，遵守法律法规和单位规定。如有任何法律疑问或需要法律帮助，可以直接向我咨询。