取保候审的申请机关和执行机关确实会根据案件所处的不同阶段而有所不同，但无论哪个阶段，取保候审的决定均由公安机关、人民检察院或人民法院依法作出，并统一由公安机关负责执行。以下是对这一问题的详细分析：
侦查阶段：
- 若案件仍处于公安机关的侦查阶段，且犯罪嫌疑人已被检察机关批准逮捕，此时若希望申请取保候审，应向公安机关提出。
- 公安机关会依据法律规定，对申请进行审查，并决定是否同意取保候审。审查时，会综合考虑犯罪嫌疑人的社会危险性、案件性质、证据情况等因素。
审查起诉阶段：
- 当案件侦查终结并被移送至人民检察院进行审查起诉时，若犯罪嫌疑人希望申请取保候审，则需向人民检察院提出申请。
- 人民检察院会综合考虑案件的具体情况、犯罪嫌疑人的社会危险性、是否可能判处刑罚等因素，作出是否准许取保候审的决定。
审判阶段：
- 若案件已进入人民法院的审判阶段，犯罪嫌疑人或被告人有权向人民法院提出取保候审的申请。
- 人民法院在综合评估案件情况、犯罪嫌疑人的社会危险性、是否可能判处刑罚以及是否会影响审判活动的正常进行等因素后，将决定是否准予取保候审。
关于取保候审的执行：
- 无论在哪个阶段获得取保候审的批准，具体的执行工作均由公安机关负责。这包括监督犯罪嫌疑人遵守取保候审的规定，如不得离开所居住的市、县，住址、工作单位和联系方式发生变动的要及时报告等。
取保候审的条件：
- 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
- 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的；
- 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性的；
- 羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续侦查的情形。
建议：
- 如果您或您身边的人涉及刑事案件，并希望申请取保候审，建议根据案件所处的阶段，及时向相应的机关提出申请，并准备充分的申请材料，说明申请取保候审的理由和拟采取的保证方式。
- 同时，务必严格遵守取保候审的相关规定，以免因违反规定而被撤销取保候审决定，甚至面临更严重的法律后果。
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