结论：合同到期后，单位一般不能仅与你签订半个月的合同，除非存在特殊情况且符合法律规定。以下从不同角度为你详细分析：
一、常规情况下合同到期后的处理
在劳动合同到期后，单位与劳动者通常需要重新协商并签订新的劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同的期限应当由用人单位与劳动者协商一致后确定，且应当符合法律、法规的规定。一般情况下，单位不能仅与你签订半个月的合同，因为这样的合同期限过短，不符合劳动合同的常规期限要求，也可能无法保障劳动者的合法权益。
二、特殊情况下的合同签订
尽管常规情况下单位不能仅签订半个月的合同，但在某些特殊情况下，如临时用工、项目用工等，单位可能与劳动者签订短期合同。然而，这种短期合同的签订必须基于双方的真实意愿，并且不得违反法律、法规的强制性规定。例如，如果单位以欺诈、胁迫等手段迫使你签订短期合同，或者合同内容违反法律、法规的强制性规定，那么该合同将被视为无效。
三、合同到期后的法律后果
如果单位不续签合同：根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，单位在劳动合同到期后不续签合同的，应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿的标准根据劳动者在单位的工作年限和月工资等因素确定。
如果单位要求签订短期合同：如前所述，除非存在特殊情况且符合法律规定，否则单位不能仅与你签订半个月的合同。如果单位坚持要求签订短期合同，你有权拒绝并要求签订更长期限的合同。如果单位因此解除与你的劳动关系，那么单位可能构成违法解除，需要承担相应的法律责任。
四、建议与行动
与单位协商：首先，你可以尝试与单位进行协商，了解单位要求签订短期合同的具体原因和依据。如果单位能够提供合理的解释和依据，并且你同意签订短期合同，那么可以签订。但请务必确保合同内容合法、合规，并明确双方的权利和义务。
咨询法律专业人士：如果你对单位的做法存在疑虑或不满，或者认为单位的要求违反了法律、法规的规定，那么你可以咨询法律专业人士（比如向我咨询），了解你的权益和可能的法律途径。
保留证据：在与单位协商或处理相关事宜的过程中，请务必保留好相关证据，如劳动合同、工资单、沟通记录等。这些证据将有助于你在需要时维护自己的合法权益。