行政复议延期的决定权在行政复议机关的负责人。以下是关于行政复议延期的详细解释：

1. 基本期限规定：

   • 根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，行政复议机关在受理申请后，应当自受理之日起六十日内作出行政复议决定。这是法律对行政复议程序的基本时间要求，旨在确保行政效率的及时性和公正性。

2. 延长期限的规定与决定权：

   • 在实际操作中，若遇到情况复杂、难以在规定期限内作出决定的情形，行政复议机关可以决定延长作出决定的期限。
   • 这一延长期限的决定权在行政复议机关的负责人。经其批准，可以适当延长作出行政复议决定的期限，但延长期限并非无限制，而是有明确的上限——最多不超过三十日。
   • 这意味着，从受理申请到最终作出决定，整个行政复议过程的最长时限为九十日（即基本期限六十日加上最长延长期限三十日）。

3. 延期通知义务：

   • 当行政复议机关决定延长作出决定的期限时，必须依法告知申请人和被申请人。这一规定体现了法律的透明度和公正性，确保当事人能够及时了解案件进展，并据此做出相应的安排或准备。

法律建议：

• 如果您作为申请人或被申请人，在行政复议过程中遇到延期情况，有权要求行政复议机关明确告知延期的理由和预计的作出决定时间。
• 若您对行政复议机关的延期决定有异议，或者认为延期时间过长影响了您的合法权益，可以考虑通过法律途径维护自己的权益，比如咨询专业律师（在这里就是我啦，胡久九律师，专注于交通事故、侵权纠纷等多个领域，有问题可以直接向我咨询）了解具体的法律救济措施。

总结：行政复议延期的决定权在行政复议机关的负责人，且延长期限有明确上限。在延期过程中，行政复议机关有义务告知当事人相关情况。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。