结论：迟延履行利息的开始计算时间应为判决书确定的履行期限届满之次日，即2026年6月15日（若6月4日为判决书生效日，且履行期为10天，则履行期最后一日为6月14日，次日为6月15日）。
详细解释：
判决书生效时间与履行时间的关系：
- 判决书生效时间：2026年6月4日。这是判决书正式产生法律效力的日期。
- 履行时间：10天。这是判决书生效后，债务人需要履行判决义务的时间期限。
迟延履行利息的计算起点：
- 根据相关法律规定，迟延履行利息的计算通常从判决书确定的履行期限届满之次日起开始。
- 在本案例中，判决书生效日为6月4日，履行期为10天，因此履行期的最后一日为6月14日。迟延履行利息的计算起点即为履行期届满之次日，即6月15日。
法律依据：
- 虽然具体的法律条文可能因地区和具体法律体系而异，但一般原则是，迟延履行利息的计算从履行期限届满之次日起算，这是为了督促债务人按时履行判决义务，并对其迟延履行行为给予一定的经济制裁。
特殊情况考虑：
- 如果判决书中有特别规定迟延履行利息的计算方式或起点，那么应遵循判决书中的具体规定。
- 如果债务人在履行期内部分履行了判决义务，但仍有部分未履行，迟延履行利息的计算应仅针对未履行的部分，并从该部分履行期限届满之次日起算。
建议：
- 作为债权人，如果债务人未在判决书确定的履行期限内履行义务，你可以从履行期限届满之次日起开始计算迟延履行利息，并在必要时通过法律途径追讨。
- 在处理此类纠纷时，建议保留好所有相关证据，包括判决书、履行通知等，以便在需要时提供证明。
示例计算（假设本金为X元，迟延履行利息率为年利率Y%）：
- 迟延履行利息 = X × (Y% / 365) × 迟延天数
- 在本案例中，如果从6月15日开始计算迟延天数，那么迟延天数将根据实际迟延情况而定。
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