结论：处理完后事肇事者不还医院欠款，单纯此行为一般不直接构成刑事犯罪，不会因此被判刑；但如果存在诈骗、拒不执行判决裁定等特定情形，则可能面临刑事处罚。以下从不同角度详细分析：
一、单纯欠款不还一般不构成刑事犯罪
在交通事故处理完毕后，肇事者若因经济困难等原因暂时无法偿还医院欠款，这主要涉及的是民事债务纠纷。根据我国法律，单纯的欠款不还行为，并不直接构成刑事犯罪。医院或相关债权人可以通过民事诉讼途径，向法院提起诉讼，要求肇事者偿还欠款。法院会根据双方提供的证据和法律规定，作出判决，要求肇事者履行还款义务。如果肇事者拒不履行法院判决，医院或债权人可以申请法院强制执行，包括查封、扣押、拍卖肇事者的财产等措施，以强制其履行还款义务。
二、特定情形下可能构成刑事犯罪
尽管单纯的欠款不还不构成刑事犯罪，但在某些特定情形下，肇事者的行为可能触犯刑法，面临刑事处罚：
诈骗情形：
- 如果肇事者在事故发生后，通过虚构事实、隐瞒真相的方式，骗取医院或相关方的信任，从而获得医疗救治或其他利益，且事后拒不偿还欠款，数额较大的，可能构成诈骗罪。
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第二百六十六条：“诈骗公私财物，数额较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。”
拒不执行判决裁定情形：
- 如果医院或相关债权人通过民事诉讼获得了法院的判决或裁定，要求肇事者偿还欠款，但肇事者有能力履行而拒不履行，情节严重的，可能构成拒不执行判决、裁定罪。
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第三百一十三条：“对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。”
三、法律建议
对于肇事者：
- 应积极与医院或相关债权人沟通，说明自己的经济状况和还款计划，争取达成和解或分期还款协议。
- 如果确实无力偿还全部欠款，可以寻求法律援助或咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及可能的法律后果。
对于医院或相关债权人：
- 应及时通过民事诉讼途径维护自己的合法权益，向法院提起诉讼要求肇事者偿还欠款。
- 在获得法院判决或裁定后，如果肇事者拒不履行，可以申请法院强制执行。
- 如果发现肇事者存在诈骗或拒不执行判决裁定等犯罪行为，应及时向公安机关报案，追究其刑事责任。
最后，交通事故后的欠款问题主要涉及民事纠纷，但特定情形下可能触犯刑法。如果你或他人遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。