用人单位拒不出具终止或者解除劳动关系证明时，劳动者有权通过法律途径要求单位履行义务，并可在必要时寻求赔偿。以下是具体的处理步骤和建议：
一、友好沟通
- 主动沟通：首先，劳动者应尝试与用人单位的人力资源部门或相关负责人进行友好协商，明确指出单位有义务在解除或终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明。可以向单位解释不开具证明可能给劳动者带来的不利影响，如无法顺利入职新单位、影响社保及档案转移、申请领取失业金等。
- 内部调解：若直接沟通无果，劳动者可以向单位内部的劳动争议调解委员会申请调解，以促成单位出具证明。如果单位设有工会组织，劳动者也可以向工会反映情况，请求工会协助沟通协调。
二、向劳动行政部门投诉
- 投诉途径：若沟通调解均未果，劳动者应向当地的劳动行政部门（一般是劳动监察大队）投诉。可以通过电话、书面材料或政务服务网渠道进行投诉。
- 投诉内容：详细说明个人信息、工作单位情况、劳动合同签订及解除情况，以及单位拒绝出具证明的事实，并要求责令单位限期改正。
- 处理期限：劳动监察部门将在一定期限内（通常不超过60个工作日）进行调查核实并给予答复。若单位仍不改正，可能会面临罚款等处罚措施。
三、搜集证据
在整个过程中，劳动者应妥善保留好与用人单位的所有相关沟通记录，如邮件、短信、微信聊天记录、电话录音等。同时，保留好工作凭证，如工资条、考勤记录、工作交接手续等，以便在后续维权时使用。这些证据将有力证明劳动关系及单位的不当行为。
四、申请劳动仲裁
- 提交申请：若劳动监察未能解决问题，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。需准备仲裁申请书、身份证明、劳动合同及相关证据材料。
- 仲裁请求：明确请求裁决单位出具解除劳动合同证明书，并可要求单位承担因未出具证明造成的损失。
- 仲裁程序：仲裁委员会将安排开庭审理，双方进行举证、质证和辩论，最终作出裁决。若劳动者胜诉，单位应按照裁决结果开具解除劳动关系证明；若单位不履行裁决，劳动者可以向法院申请强制执行。
五、提起诉讼
- 起诉条件：若对劳动仲裁结果不满意，劳动者可以在收到仲裁裁决书之日起15日内向人民法院提起诉讼。
- 诉讼程序：准备起诉状、仲裁裁决书及相关证据，向有管辖权的人民法院提交起诉材料。
- 诉讼请求：强调单位出具证明的法定义务，并要求赔偿因延误出具证明造成的损失。法院将依据事实和法律进行审理并作出判决。
六、其他注意事项
- 保留证据：在整个维权过程中，劳动者应持续保留好所有相关证据，以备不时之需。
- 及时行动：劳动仲裁的申请时效一般为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应及时采取行动，避免超过时效期限。
- 寻求法律援助：如果劳动者在经济上或其他方面存在困难，可以寻求法律援助机构的帮助，以获得专业法律人士的支持和指导。
法律依据：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第八十九条规定：“用人单位违反本法规定未向劳动者出具解除或者终止劳动合同的书面证明，由劳动行政部门责令改正；给劳动者造成损害的，应当承担赔偿责任。”
面对用人单位拒不出具终止或者解除劳动关系证明的情况，劳动者应积极采取行动，通过合法途径维护自己的权益。在整个过程中，保持冷静、理性，并妥善保留好相关证据是成功的关键。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。