工商变更工作通常涉及多个部门，但主要的核心流程和责任部门是市场监管部门（也常被称为工商行政管理部门）。

市场监管部门是负责企业注册、变更、注销等登记管理工作的主要机构。当企业需要进行工商变更时，比如变更企业名称、法定代表人、注册资本、经营范围、注册地址等关键信息，都需要向市场监管部门提交相应的变更申请，并按照其规定的流程和要求完成变更登记。

除了市场监管部门外，工商变更还可能涉及其他相关部门，具体取决于变更的内容。例如：

1. 税务部门：如果变更涉及税务方面的信息，如税务登记证上的内容变更，或者企业因变更导致税务状况发生变化，那么就需要向税务部门进行申报和变更登记。不过，在大多数情况下，税务变更是在完成工商变更后，根据市场监管部门推送的变更信息，再由企业自行向税务部门申报的。

2. 银行部门：如果变更涉及企业银行账户的信息，如基本账户的开立、变更或注销，那么就需要向相关银行进行申报和变更手续。

3. 其他相关部门：根据变更的具体内容，还可能涉及其他相关部门，如社保部门（变更社会保险登记信息）、公积金管理部门（变更住房公积金缴存登记信息）等。

总结来说，工商变更的核心流程和责任部门是市场监管部门。企业在进行工商变更时，应首先向市场监管部门提交变更申请，并按照其规定的流程和要求完成变更登记。同时，根据变更的具体内容，可能还需要向其他相关部门进行申报和变更手续。因此，在进行工商变更时，企业应仔细了解变更流程和要求，确保变更工作的顺利进行。