原告和被告均有权利核实对方代理人的代理资格。这是基于保障诉讼程序公正性、维护当事人合法权益的考虑，以下从不同角度为你详细分析：

1. 法律依据角度
   根据《中华人民共和国民事诉讼法》第六十一条规定：“当事人、法定代理人可以委托一至二人作为诉讼代理人。下列人员可以被委托为诉讼代理人：（一）律师、基层法律服务工作者；（二）当事人的近亲属或者工作人员；（三）当事人所在社区、单位以及有关社会团体推荐的公民。”
   同时，根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民事诉讼法〉的解释》第八十八条规定，诉讼代理人除需提交授权委托书外，还需根据不同身份提交相应材料（如律师需提交律师执业证、律师事务所证明；基层法律服务工作者需提交法律服务工作者执业证等）。
   法律明确要求代理人提交资格证明，本质上赋予了对方当事人核实代理资格的权利。若对方未提交或提交材料不符合要求，当事人可向法庭提出异议，要求审查代理资格。

2. 诉讼程序角度
   核实代理资格是诉讼程序正当性的重要环节。若代理人无合法资格，可能导致其代理行为无效（如签署的调解协议、提交的证据可能被认定无效），甚至影响案件审理进度。
   实践中，法庭通常会在首次开庭时主动审查代理人资格，但当事人也可主动要求核实。例如，若对方代理人自称“律师”却未提交律师证，或委托手续未加盖律师事务所公章，当事人可当场提出质疑，要求法庭责令其补充材料或更换代理人。

3. 实务操作角度
   核实代理资格的方式包括：

• 直接要求对方出示：在庭审前或庭审中，可礼貌要求对方代理人出示授权委托书、身份证明及职业资格证明（如律师证）；
  
• 向法庭提出申请：若对方拒绝出示或材料存疑，可向法庭提交书面申请，要求法庭审查代理资格；
  
• 利用庭审程序：在法庭询问阶段，可就代理人身份、委托权限等问题提问，若代理人回答含糊或矛盾，可进一步要求法庭核实。
  

建议：若发现对方代理人资格存疑，务必及时提出异议，避免因代理行为瑕疵导致自身权益受损。若需进一步指导如何操作或起草相关申请文书，可随时向我咨询。