当公司的法定代表人死亡时，诉讼案件的处理需要遵循一定的法律程序和规定，以确保公司的诉讼主体资格不受影响，同时保障诉讼活动的连续性和有效性。以下是对此问题的详细解答：
一、公司诉讼主体资格不受影响
首先，要明确的是，公司作为一个法人实体，其权利和义务并不因法定代表人的变动而消灭。因此，在法定代表人死亡后，公司仍然具有诉讼主体资格，可以继续进行诉讼活动。
二、确定新的法定代表人或诉讼代表人
依据公司章程和法律：
- 公司应依据《公司法》及公司章程的规定，迅速召开股东会、董事会等内部决策机构会议，重新选举或确定新的法定代表人。
- 若公司章程未明确规定或因特殊情况无法及时选出新的法定代表人，可由公司实际控制人、主要负责人或股东会、董事会等指定代表参加诉讼，并需提交授权委托书及身份和代表资格证明。
特殊情况处理：
- 对于事业单位、社会团体等非营利法人，按照内部规章制度或组织程序确定新法定代表人；在新法定代表人确定前，由主管单位或主持工作的负责人代表参加诉讼。
- 对于非法人组织，负责人死亡后，由成员推举新负责人代表参加诉讼；若无法推举或存在争议，由设立人、出资人或主管部门指定代表。
三、准备并提交相关材料
主体资格证明材料：
- 企业法人需提交营业执照副本、组织机构代码证、新法定代表人身份证明及任职证明（如股东会决议）。
- 非法人组织需提交登记证书、组织机构代码证、新负责人或指定代表的身份证明及相关任职或指定证明。
法定代表人死亡的证明材料：
- 提交医院出具的死亡医学证明、公安机关出具的户口注销证明或殡仪馆出具的火化证明等，以证明原法定代表人的死亡事实。
四、向法院提交变更申请并继续诉讼
已立案但未审结的案件：
- 公司应及时将法定代表人死亡情况及新诉讼代表人材料告知受诉法院，并提交书面变更申请。
- 法院审查合格后，将允许新诉讼代表人继续参加诉讼，原法定代表人已进行的诉讼行为对公司有效。
尚未立案的案件：
- 准备好材料后，按正常立案程序向有管辖权的法院提交起诉状和相关证据材料，明确写明新法定代表人或诉讼代表人信息。
五、特殊情况的处理
涉及遗产继承或债务承担问题：
- 若诉讼涉及遗产继承或债务承担问题，可能需要先进行遗产清算或债务清理，诉讼可能需要中止，待完成后恢复审理。
存在多个继承人或利益相关方争议：
- 若存在多个继承人或利益相关方争议，应先通过协商、调解或其他法律程序解决争议，确定明确的诉讼代表人或权益分配方案后再继续诉讼。
六、公司内部变更手续
- 公司需按照法律规定办理法定代表人变更手续，包括准备《企业法人变更登记申请书》等材料，递交给当地工商行政管理部门审查，并通知税务部门、银行等。
七、建议与总结
- 在处理此类问题时，建议公司密切关注相关法律法规的变化，并确保所有法律文件的合法性和有效性。
- 如遇任何法律问题或争议，建议及时咨询专业律师以获取准确的法律意见和帮助，以确保诉讼活动的顺利进行。
综上所述，当公司法定代表人死亡时，公司应迅速应对，按照法律程序和规定确定新的法定代表人或诉讼代表人，准备并提交相关材料，继续参与诉讼活动，并依法完成法定代表人的变更手续，以维护公司的合法权益和正常运营。