结论：投标公司串通投标时，监督单位是否有责任需视具体情况而定。若监督单位未履行法定职责，可能需承担行政责任或民事责任；若已依法履职，则无需担责。以下从不同角度详细分析：

一、监督单位的法定职责

根据《中华人民共和国招标投标法》及相关法规，监督单位（如行政主管部门、招标人委托的监督机构等）的职责主要包括：

1. 审查招标文件：确保招标文件合法合规，无歧视性条款；
2. 监督开标、评标过程：防止围标、串标等违法行为；
3. 受理投诉举报：对涉嫌串通投标的行为进行调查；
4. 处罚违法行为：对查实的串通投标行为依法处罚（如罚款、没收违法所得、取消中标资格等）。

若监督单位未履行上述职责，例如未及时调查举报、未制止明显违法行为，可能因“不作为”被追究责任。

二、监督单位可能承担的责任类型

1. 行政责任

   • 依据：《招标投标法》第七十七条规定，监督单位工作人员徇私舞弊、滥用职权或玩忽职守的，依法给予行政处分；构成犯罪的，追究刑事责任。
     
   • 示例：监督人员明知某公司串通投标却未处理，可能被给予警告、记过等处分。

2. 民事责任

   • 依据：若监督单位的过错行为导致其他投标人损失（如因未制止串标导致合法投标人丧失中标机会），可能需承担赔偿责任。
     
   • 示例：监督单位未及时公告串标行为，导致某公司因信息滞后无法参与后续招标，可能需赔偿其直接经济损失（如投标费用、差旅费等）。

3. 刑事责任

   • 依据：若监督人员与投标公司勾结，共同实施串通投标或受贿等行为，可能构成《刑法》中的串通投标罪、受贿罪等。
     
   • 示例：监督人员收受贿赂后放任串标行为，可能被追究刑事责任。

三、监督单位免责的情形

若监督单位已依法履行职责，例如：

• 在开标现场发现串标迹象后立即终止程序；
• 对举报线索及时调查并作出处理决定；
• 留存了完整的监督记录（如开标视频、评标报告等），
  则无需对串通投标行为承担责任。

四、对投标公司的建议

1. 避免串通投标：串标行为可能面临中标无效、罚款（中标项目金额5‰-10‰）、没收违法所得、吊销营业执照等处罚，情节严重者可能被追究刑事责任。
   
2. 监督单位不作为时的救济：若发现监督单位未履职，可向其上级部门投诉或直接向法院起诉，要求其履行职责或赔偿损失。

总结：监督单位的责任取决于其是否依法履职。若您遇到串通投标或监督单位不作为的情况，可直接向我咨询具体法律程序和维权策略。