结论：员工在厂里当天因突然生病是可以请假的，但具体请假流程和所需证明可能因工厂规章制度的不同而有所差异。

分析说明：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定，劳动者享有休息休假的权利。当员工因身体原因无法继续工作时，有权向用人单位提出请假申请。
   • 虽然法律没有明确规定员工当天生病必须当天请假，但基于人道主义和劳动法的精神，员工在突发疾病时应当有权及时请假以保障自身健康。

2. 工厂规章制度：

   • 不同的工厂可能有不同的请假制度和流程。有些工厂可能要求员工提前一定时间（如一天或几小时）提交请假申请，但在紧急情况下，如员工突然生病，工厂通常会给予一定的灵活性和理解。
   • 员工在请假时，可能需要提供医疗证明或其他相关证明来支持其请假申请。这取决于工厂的具体规定。

3. 实际操作建议：

   • 及时沟通：员工在发现自己生病无法继续工作时，应立即与上级或人力资源部门沟通，说明情况并提出请假申请。
   • 提供证明：如果工厂要求提供医疗证明，员工应尽快前往医院就诊并获取相关证明。
   • 了解规定：员工在入职时应了解并熟悉工厂的请假制度和流程，以便在需要时能够迅速、准确地提出申请。

4. 特殊情况处理：

   • 如果员工因病情严重无法亲自前往工厂办理请假手续，可以委托同事或家人代为办理，或者通过电话、邮件等方式与工厂沟通并说明情况。
   • 工厂在收到员工的请假申请后，应及时进行审批并告知员工审批结果。如果工厂拒绝员工的请假申请，员工有权了解拒绝的原因并寻求进一步的解决方案。

后续行动建议：

• 如果员工在请假过程中遇到任何问题或困难，如工厂拒绝请假、要求提供不合理的证明等，员工可以向当地劳动监察部门投诉或寻求法律援助。
• 员工在请假期间应保持与工厂的沟通，及时告知病情变化和预计返岗时间，以便工厂安排工作。

特殊场景提醒：

• 在疫情期间，如果员工因疑似或确诊新冠肺炎而需要请假，应遵循当地卫生部门和工厂的防疫规定，及时报告并配合进行隔离和治疗。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。