老师煽动学生写联名信是否违法，需根据具体情况来判断，不能一概而论。以下从几个关键角度进行分析：
联名信的内容与目的：
- 如果联名信的内容是合法、正当的，比如反映学校管理中的问题、提出合理的改进建议等，且老师煽动学生写联名信的目的是为了促进学校管理的改善或维护学生的合法权益，那么这种行为通常不构成违法。
- 如果联名信的内容涉及诽谤、侮辱、侵犯他人隐私等违法行为，或者老师煽动学生写联名信的目的是为了达到某种非法目的，如打击报复、恶意诋毁等，那么这种行为就可能构成违法。
老师的煽动行为是否构成胁迫或诱导：
- 如果老师以威胁、利诱等方式强迫学生写联名信，或者通过不正当手段诱导学生写联名信，那么这种行为可能构成对学生自由意志的侵犯，甚至可能构成胁迫或欺诈等违法行为。
- 如果老师只是提出建议或鼓励，而学生是自愿参与写联名信的，那么这种行为通常不构成违法。
相关法律法规的适用：
- 根据《中华人民共和国民法典》中关于人格权的规定，任何组织或者个人不得以侮辱、诽谤等方式侵害他人的名誉权。如果联名信的内容涉及侮辱、诽谤等违法行为，那么写联名信的学生和煽动老师都可能承担相应的法律责任。
- 如果老师的煽动行为构成胁迫或欺诈，还可能涉及《中华人民共和国刑法》中关于胁迫、欺诈等犯罪的规定，具体取决于行为的严重程度和后果。
建议与后果：
- 对于老师：在鼓励学生表达意见或提出建议时，应确保行为的合法性和正当性，避免使用胁迫、诱导等不正当手段。同时，应尊重学生的自由意志和选择权，不得强迫或诱导学生做出违背其意愿的行为。
- 对于学生：在参与写联名信等活动时，应仔细考虑联名信的内容和目的，确保自己的行为合法、正当。如果感到被胁迫或诱导，应及时向学校或相关部门反映情况。
- 法律后果：如果老师的煽动行为或联名信的内容构成违法，相关责任人可能面临民事赔偿、行政处罚甚至刑事责任等法律后果。
总结：老师煽动学生写联名信是否违法，需根据联名信的内容与目的、老师的煽动行为是否构成胁迫或诱导以及相关法律法规的适用等多个因素来综合判断。如果有具体的法律问题或疑虑，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。