被告不可以随意传播原告被打的视频，这种行为可能涉及侵犯原告的隐私权、名誉权等人格权，并可能面临法律责任。以下从几个角度进行详细分析：

1. 隐私权保护：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人享有隐私权，任何组织或者个人不得以刺探、侵扰、泄露、公开等方式侵害他人的隐私权。原告被打的视频，若涉及原告的私人生活或不愿为他人知晓的私密空间、私密活动、私密信息，即构成隐私。被告未经原告同意，擅自传播该视频，即侵犯了原告的隐私权。

2. 名誉权保护：

   • 名誉权是公民或法人保持并维护自己名誉的权利。被告传播原告被打的视频，若导致原告的社会评价降低，即构成对原告名誉权的侵害。根据法律规定，侵害名誉权的，应承担停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉及赔偿损失等民事责任。

3. 可能的法律后果：

   • 若被告的传播行为情节较轻，可能面临民事赔偿的责任，包括赔偿原告因侵权行为所遭受的损失，如精神损害抚慰金等。
   • 若被告的传播行为情节严重，如造成恶劣社会影响或严重损害原告名誉，还可能触犯《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，面临行政处罚，如拘留、罚款等。
   • 在极端情况下，若被告的传播行为构成犯罪，如侮辱罪、诽谤罪等，还可能面临刑事处罚。

4. 特殊情况下的传播：

   • 当然，也存在一些特殊情况，如被告传播视频是为了揭露犯罪行为、维护社会公共利益等。但即便如此，被告也需要确保传播的内容真实、准确，且不得侵犯他人的合法权益。若被告无法证明其传播行为的合法性，仍可能面临法律责任。

建议：

• 若您作为原告，发现被告擅自传播您被打的视频，应立即收集证据，如视频截图、传播记录等，并向公安机关报案或向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
• 若您作为被告，应意识到擅自传播他人视频可能带来的法律后果，尊重他人的隐私权和名誉权，避免不必要的法律纠纷。

如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。