您好，关于随父姓和随母姓的法律依据，这主要涉及到我国的《中华人民共和国民法典》中的相关规定。
首先，根据《民法典》第一千零一十五条，自然人原则上应当随父姓或者母姓。这是我国法律对于子女姓氏选择的基本规定，体现了父母双方对于子女姓氏的平等权利。
然而，该条款也规定了例外情况，即在以下三种情形下，子女可以在父姓和母姓之外选取姓氏：
选取其他直系长辈血亲的姓氏。这意味着，如果家庭中有其他直系长辈（如祖父母、外祖父母等）的姓氏具有特殊意义或文化传承价值，子女可以选择使用这些姓氏。
因由法定扶养人以外的人扶养而选取扶养人姓氏。在某些特殊情况下，子女可能由法定扶养人以外的人（如养父母、继父母等）实际扶养。在这种情况下，子女可以选择使用扶养人的姓氏。
有不违背公序良俗的其他正当理由。这是一个相对宽泛的规定，允许在符合社会公德和善良风俗的前提下，根据具体情况选择姓氏。
此外，对于少数民族自然人，他们的姓氏选择可以遵从本民族的文化传统和风俗习惯。这体现了我国法律对于少数民族文化的尊重和保护。
在现实生活中，虽然随父姓的情况较为普遍，但随母姓也是完全合法的，并且受到法律的保护。父母双方应当平等协商，根据家庭情况和子女利益来决定子女的姓氏。同时，父母也不得因子女变更姓氏而拒付子女抚育费，这是法律对于父母抚养义务的明确规定。
如果父或母一方擅自将子女姓氏改为继母或继父姓氏而引起纠纷，法律会责令恢复原姓氏。如果另一方不同意的，人民法院会根据申请，按照最有利于未成年子女保护的原则来确定姓氏。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时告诉我。