结论：银行借款2000多元不还，银行是有可能会向法院提起诉讼的，但具体是否会起诉，取决于多种因素。以下从多个角度为你详细分析：
一、银行起诉的可能性
借款金额与成本考量：
- 虽然2000多元的借款金额相对较小，但银行在决定是否起诉时，会综合考虑起诉的成本与收益。这包括诉讼费用、律师费用、时间成本等。如果银行认为通过起诉能够有效追回欠款，且成本相对较低，那么起诉的可能性就会增加。
借款人的还款意愿与能力：
- 如果借款人表现出明显的还款意愿，但因暂时困难无法按时还款，银行可能会选择与借款人协商延期还款或分期还款，而不是直接起诉。
- 如果借款人完全没有还款意愿，或者银行认为借款人已经丧失了还款能力，那么银行更可能会选择通过法律途径来追回欠款。
银行的内部政策与流程：
- 不同银行对于逾期借款的处理政策可能有所不同。有些银行可能更倾向于通过协商、催收等方式来解决问题，而有些银行则可能更倾向于直接起诉。
- 此外，银行内部的处理流程也会影响是否起诉的决定。例如，如果借款已经逾期较长时间，且经过多次催收无果，银行可能会更倾向于起诉。
二、起诉后的法律后果
法院判决与执行：
- 如果银行向法院提起诉讼，并且法院最终判决借款人需要还款，那么借款人就必须按照判决履行还款义务。
- 如果借款人拒不履行判决，银行可以申请法院强制执行，包括查封、扣押、拍卖借款人的财产等。
信用记录受损：
- 无论银行是否起诉，借款人的逾期记录都会被记录在个人信用报告中，对借款人的信用记录造成负面影响。
- 这将影响借款人未来申请贷款、信用卡等金融产品的能力，甚至可能影响借款人的就业和社交生活。
三、建议与措施
积极与银行沟通：
- 如果借款人确实面临还款困难，建议积极与银行沟通，说明情况并寻求解决方案。银行可能会根据借款人的实际情况提供延期还款、分期还款等灵活的还款方式。
尽快还款：
- 如果借款人有能力还款，建议尽快还款以避免不必要的法律纠纷和信用记录受损。即使无法一次性还清全部欠款，也可以尝试部分还款以表明还款意愿。
寻求法律帮助：
- 如果借款人已经收到法院的传票或面临起诉的风险，建议寻求专业的法律帮助以了解自己的权利和义务，并制定合适的应对策略。
最后，银行借款2000多元不还，银行是有可能会向法院提起诉讼的。但具体是否会起诉取决于多种因素，包括借款金额、借款人的还款意愿与能力、银行的内部政策与流程等。因此，建议借款人积极与银行沟通并尽快还款以避免不必要的法律纠纷和信用记录受损。如果你还有其他关于债务债权或金融保险方面的问题，可以直接向我咨询。