结论：交通事故赔偿一千元后没有留下信息，有可能构成逃逸，但具体是否构成逃逸，需要结合事故的具体情况、当事人的主观意图以及相关法律法规进行综合判断。
一、逃逸的法律定义
根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，交通肇事逃逸是指发生交通事故后，交通事故当事人为逃避法律追究，驾驶车辆或者遗弃车辆逃离交通事故现场的行为。这里的关键在于“逃避法律追究”和“逃离现场”。
二、赔偿后未留信息的行为分析
主观意图：
- 如果当事人在赔偿一千元后，因为担心被追究责任或其他原因，故意不留下个人信息而离开现场，这种行为很可能被认定为逃逸。
- 如果当事人是因为疏忽或紧急情况（如需要立即送医等）而未能留下信息，且事后主动联系并配合处理事故，则可能不构成逃逸。
客观行为：
- 赔偿一千元后未留下信息，本身并不直接等同于逃逸。但这一行为可能作为判断当事人主观意图的参考因素之一。
- 如果当事人在离开现场后，未采取任何措施（如报警、联系保险公司等）来处理事故，或者故意隐瞒事故真相，那么这种行为更有可能被认定为逃逸。
三、可能面临的法律后果
行政处罚：
- 如果构成逃逸，根据《中华人民共和国道路交通安全法》的规定，当事人可能面临罚款、拘留等行政处罚。
刑事责任：
- 在严重的情况下，如果逃逸行为导致事故后果扩大（如伤者因未得到及时救治而死亡），当事人可能构成交通肇事罪，面临刑事追究。
民事赔偿：
- 无论是否构成逃逸，当事人都需要对事故造成的损失承担民事赔偿责任。如果逃逸行为导致损失扩大，当事人可能需要承担更多的赔偿责任。
四、建议
立即报警并留下信息：
- 在发生交通事故后，无论事故大小，都应立即报警并留下个人信息，以便后续处理。
积极配合处理事故：
- 如果因特殊原因需要离开现场，应事先与对方或警方沟通，并留下联系方式，以便后续联系和处理事故。
咨询专业律师：
- 如果对事故处理或赔偿问题有疑问，应及时咨询专业律师，以维护自己的合法权益。不过，在这里你可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。
总结：交通事故赔偿一千元后没有留下信息，是否构成逃逸需要结合具体情况进行判断。为了避免不必要的法律风险和麻烦，建议在发生交通事故后立即报警并留下个人信息，积极配合处理事故。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。