在一审判决后，当事人双方确实可以同时上诉。以下是对这一问题的详细解释：
法律依据与上诉权
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人不服地方人民法院第一审判决的，有权在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。这里的“当事人”包括原告、被告以及有独立请求权的第三人等所有参与诉讼的主体。因此，如果一审判决后，原告和被告双方均对判决结果不满，他们都有权在法定期限内提起上诉，且上诉的提起并不以对方是否上诉为前提。
双方同时上诉的情况
上诉期限的计算：双方上诉期限均从收到判决书之日起计算，且期限相同（通常为十五日）。这意味着，如果双方都在法定期限内提起了上诉，那么他们的上诉行为是同时有效的。
上诉的独立性：一方的上诉行为并不影响另一方的上诉权。即使一方已经提起了上诉，另一方仍然有权在法定期限内提起自己的上诉。
二审法院的审理：当双方都提起上诉时，二审法院会合并审理双方的上诉请求。在审理过程中，二审法院会全面审查一审判决的事实认定和法律适用，并根据审查结果作出相应的判决。
实际操作中的注意事项
及时行使上诉权：由于上诉期限是法定的，且相对较短，因此当事人应在收到判决书后尽快决定是否上诉，并在法定期限内提起上诉，以免丧失上诉权。
准备充分的上诉材料：在提起上诉时，当事人应准备充分的上诉材料，包括上诉状、相关证据等，以支持自己的上诉请求。
关注二审审理进程：在二审审理过程中，当事人应积极配合法院的工作，及时提交相关材料，参加庭审等，以确保自己的合法权益得到充分保障。
可能的法律后果
如果双方都提起了上诉，且二审法院经审理后认为一审判决存在错误，那么二审法院可能会撤销或变更一审判决，并作出新的判决。这将对双方当事人的权益产生直接影响，因此当事人在提起上诉前应充分评估风险，并谨慎决策。
总结来说，一审判决后当事人双方可以同时上诉，且上诉行为具有独立性和同时性。如果你或你身边的人遇到类似情况，有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。