当遇到自来水水质极差的情况时，涉及的责任人及相关部门主要包括以下几类：

1. 城市自来水供水企业：

   • 这是最直接的责任方。根据《城市供水条例》，城市自来水供水企业有责任确保供水水质、水压符合国家规定标准。如果水质不达标，该企业将受到城市供水行政主管部门的处罚，包括责令改正、罚款，甚至在情节严重的情况下被责令停业整顿。同时，对负有直接责任的主管人员和其他直接责任人员，其所在单位或者上级机关可以给予行政处分。

2. 城市供水行政主管部门：

   • 这是监管城市自来水供水企业的政府部门。如果供水企业未能确保水质达标，城市供水行政主管部门有责任进行监督和处罚。他们负责执行相关法规，确保供水企业的运营符合国家标准。

3. 卫生健康部门：

   • 根据卫生健康部门的职责，他们负责饮用水卫生等公共卫生的监督管理。如果水质问题涉及到公共卫生安全，卫生健康部门也会介入调查和处理。他们可能会要求供水企业进行水质检测，或者对受影响的区域进行公共卫生评估。

4. 相关政府部门及领导：

   • 在更广泛的意义上，如果水质问题持续存在且未得到妥善解决，可能反映出相关政府部门在监管、协调或资源分配方面存在问题。在这种情况下，更高层级的政府部门或领导可能需要承担一定的责任，包括推动问题解决、加强监管力度或调整相关政策。

建议行动：

• 如果您遇到自来水水质极差的问题，首先建议向城市自来水供水企业反映，要求他们进行检测和改善。
• 如果供水企业未能及时响应或解决问题，您可以向城市供水行政主管部门或卫生健康部门投诉，寻求他们的帮助和监督。
• 在极端情况下，如果水质问题对您的健康造成了严重影响，您还可以考虑通过法律途径维护自己的权益。

综上所述，自来水水质极差的责任人涉及多个层面，从直接的供水企业到监管部门，再到可能的相关政府部门及领导。解决水质问题需要多方面的合作和努力。