结论：公司法人代表可以把自己的车无偿提供给公司使用，但前提是必须确保协议的合法性、明确性，并妥善处理税务及潜在的法律风险。以下从多个角度进行详细分析：
一、协议合法性与基础法律关系
法人代表身份与权限：
- 法人代表是公司的对外意思机关，有权代表公司进行民事活动。在内部关系中，法人代表往往与公司存在劳动合同关系，被视为特殊雇员。
- 公司作为独立法人主体，有权对其名下财产（包括通过协议方式使用的财产）进行合法处置。因此，法人代表将自己的车无偿提供给公司使用，在法律上是可行的，但需要通过协议来明确双方的权利义务。
协议性质与法律依据：
- 汽车无偿使用协议属于公司内部约定，主要处理的是劳动待遇问题，特别是对法人代表这一特殊雇员的待遇安排。
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，依法成立的合同受法律保护。因此，双方应签订书面协议，以明确汽车的使用范围、目的、期限等关键条款。
公司章程与内部审批：
- 在签订协议前，需审查公司章程，确保不违反关于财产处置、法人代表权限等规定。
- 若公司章程有特定程序要求（如股东会或董事会决议），则需遵循相关程序完成内部审批。
二、税务合规性
税务风险：
- 无偿使用可能被视为视同销售或租赁行为，从而存在税务风险。税务机关可能对此类交易进行特别关注，要求公司进行纳税申报。
税务处理：
- 尽管是无偿使用，但公司仍需按照税务机关的要求进行申报和纳税，以避免潜在的税务违规。这可能包括增值税、企业所得税等相关税种的合规处理。
- 建议在协议中明确税务处理方式，如由公司承担相关税费，以避免后续纠纷。
三、潜在风险与防范措施
利益输送风险：
- 为防范利益输送嫌疑，协议中应明确汽车的使用范围、目的，并定期监督和检查使用情况。
- 确保汽车使用符合公司利益和协议约定，如仅限于公司业务相关出行，避免将汽车用于私人目的。
对公司和股东权益的影响：
- 应进行成本效益分析，评估汽车无偿使用对公司的资金流动、运营成本等的影响。
- 在协议中约定相应的补偿措施或限制条款，如公司因使用汽车而节省的交通费用是否以其他形式补偿给法人代表，以保护公司和股东的合法权益。
法律责任：
- 确保协议内容合法、明确，不损害公司或其他股东利益，以避免违反《中华人民共和国公司法》等相关规定。
- 在租赁期间，若发生交通事故，公司应承担赔偿责任；若法人代表有过错，也需承担相应责任。因此，建议在协议中明确事故责任划分和赔偿方式。
四、实际操作建议
签订书面协议：
- 双方应签订详细的书面协议，明确汽车的使用范围、目的、期限、税务处理、事故责任等关键条款。
完成内部审批：
- 根据公司章程和内部管理制度的要求，完成相关审批流程，确保协议的合法性和有效性。
定期监督和检查：
- 公司应定期对汽车的使用情况进行监督和检查，确保汽车使用符合协议约定和公司利益。
咨询专业意见：
- 在签订协议前，建议咨询专业律师或税务师的意见，以确保协议的严谨性和有效性，并妥善处理税务问题。
综上所述，公司法人代表可以把自己的车无偿提供给公司使用，但需严格遵守法律法规和公司章程，确保协议的合法性、明确性和税务合规性。同时，应采取有效措施防范潜在风险，保护公司和股东的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。