员工病假到期提出解除劳动合同与公司提出解除劳动合同，两者在法律后果、经济补偿以及操作程序上均存在显著区别。以下是对这两种情形的详细分析：
一、员工病假到期提出解除劳动合同
法律后果：
- 员工在病假到期后主动提出解除劳动合同，通常视为员工自愿离职。这种情况下，员工一般不享有要求用人单位支付经济补偿的权利，除非双方另有约定或符合法律规定的特定情形（如用人单位存在违法行为导致员工被迫离职）。
经济补偿：
- 如前所述，员工主动离职通常不获得经济补偿。但如果员工能证明用人单位存在未依法支付劳动报酬、未提供劳动条件等违法行为，导致员工被迫离职，则员工有权要求用人单位支付经济补偿。
操作程序：
- 员工应提前通知用人单位，并按照双方约定的或法律规定的程序办理离职手续。这通常包括提交书面离职申请、交接工作、结清工资等。
二、公司提出解除劳动合同（病假期间或病假到期后）
法律后果：
- 病假期间：根据《劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依照该法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。因此，在病假期间，公司通常不得随意解除劳动合同，否则将构成违法解除，需承担相应的法律责任。
- 病假到期后：如果员工在病假到期后仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，且不存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重过错情形，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。这种情况下，用人单位需支付经济补偿。
经济补偿：
- 病假期间违法解除：如果用人单位在病假期间违法解除劳动合同，劳动者有权选择要求用人单位继续履行劳动合同，或者不要求继续履行而选择要求用人单位支付赔偿金。赔偿金的计算标准为经济补偿标准的二倍。
- 病假到期后合法解除：如果用人单位在病假到期后依法解除劳动合同，需按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
操作程序：
- 病假期间：用人单位应严格遵守法律规定，不得随意解除劳动合同。如需解除，必须符合法律规定的特殊情形，并按照法定程序进行。
- 病假到期后：用人单位应提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，方可解除劳动合同。同时，用人单位应确保解除劳动合同的决定符合法律规定，避免违法解除带来的法律风险。
三、特殊情况下的考虑
- 如果员工在病假期间存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重过错情形（如严重违反用人单位的规章制度、严重失职等），用人单位可以依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 在实际操作中，用人单位应谨慎处理员工病假及解除劳动合同问题，确保符合法律规定，避免不必要的法律纠纷和经济损失。
总结与建议：
员工病假到期提出解除劳动合同与公司提出解除劳动合同在法律后果、经济补偿以及操作程序上均存在显著区别。作为员工或用人单位，在处理此类问题时，应充分了解相关法律法规，确保自身权益得到保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。