子女在父母告其不尽赡养义务的判决后，确实享有申诉的权利。以下是对这一问题的详细分析：
一、申诉的法律依据
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审，即申诉。这意味着，如果子女认为法院在判决其不尽赡养义务时存在错误，他们有权通过申诉来寻求法律救济。
二、申诉的条件与流程
申诉条件：
- 子女必须认为原判决存在错误，如事实认定不清、法律适用错误等。
- 申诉应在判决生效后的一定时间内提出，具体期限根据法律规定和法院要求而定。
申诉流程：
- 准备申诉材料：包括申诉状（应写明申诉请求、事实和理由）、原判决文书、相关证据材料等。
- 提交申诉：将准备好的材料提交至有管辖权的上一级人民法院。
- 立案审查：法院会对提交的材料进行审查，符合立案条件的会予以受理。
- 开庭审理：如果法院决定受理申诉，会安排开庭时间，通知双方当事人到庭参加诉讼。庭审中，子女需陈述申诉请求及事实理由，并提供相关证据；原判决中的父母一方或双方可进行答辩和质证。
- 判决与执行：法院会根据审理情况作出判决。如果判决支持子女的申诉请求，原判决可能会被撤销或变更；如果判决驳回申诉请求，则原判决继续有效。
三、申诉的注意事项
- 证据收集：在申诉过程中，子女应尽可能收集能证明原判决存在错误的证据，如新的证人证言、书证、物证等。这些证据将有助于支持他们的申诉请求。
- 法律适用：子女应仔细研究相关法律法规和司法解释，确保他们的申诉请求有明确的法律依据。如果对法律适用存在疑问，可以寻求专业法律人士的帮助。
- 申诉时效：申诉应在判决生效后的一定时间内提出，逾期将可能丧失申诉权利。因此，子女应尽快行动，以免错过申诉时机。
四、可能的结果与影响
- 申诉成功：如果法院认为子女的申诉请求成立，原判决可能会被撤销或变更。这将意味着子女不再需要承担原判决中确定的赡养义务，或者赡养义务的内容将发生改变。
- 申诉失败：如果法院认为子女的申诉请求不成立，原判决将继续有效。子女仍需按照原判决履行赡养义务，否则可能面临法律制裁。
五、建议与指导
- 理性对待判决：无论判决结果如何，子女都应理性对待，尊重法律判决。如果认为判决存在错误，可以通过合法途径寻求救济，而不是采取过激行为。
- 积极履行赡养义务：赡养父母是子女的法定义务，也是中华民族的传统美德。即使对判决结果有异议，子女也应积极履行赡养义务，确保父母的基本生活需求得到满足。
- 寻求专业帮助：如果子女在申诉过程中遇到法律难题或困惑，可以向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议和指导。
总之，子女在父母告其不尽赡养义务的判决后享有申诉的权利。但申诉并非易事，需要子女充分准备、理性对待，并寻求专业帮助以确保申诉的成功。