结论概述：被执行刑罚的人担任按摩店法人，按摩店是否能继续营业，这主要取决于该人被执行的刑罚类型以及相关法律法规的具体规定。以下从不同角度进行详细分析。

1. 刑罚类型与营业资格的关系：

   • 若刑罚涉及剥夺政治权利：根据《中华人民共和国刑法》第五十四条的规定，剥夺政治权利包括剥夺担任国家机关职务的权利，以及担任国有公司、企业、事业单位和人民团体领导职务的权利。虽然此条款未直接提及私营企业法人，但若被执行刑罚的人因犯罪被剥夺政治权利，其担任法人可能因不符合相关行业管理规定（如某些行业要求法人无犯罪记录）而受到限制，进而影响按摩店的营业。此外，若按摩店涉及特定行业（如需要特殊许可的行业），被剥夺政治权利的人担任法人可能违反行业准入规定，导致按摩店无法营业。
   • 若刑罚不涉及剥夺政治权利：一般情况下，被执行刑罚（如罚金、拘役等）并不直接剥夺个人担任法人的资格。然而，若该刑罚导致个人信用受损或符合其他行业禁入条件（如某些行业对法人有信用要求），则可能间接影响按摩店的营业。例如，若按摩店需要贷款或与其他企业合作，法人的信用状况可能成为合作方考虑的因素。

2. 行业特定规定与营业资格：

   • 按摩店作为特定行业，可能受到地方性法规或行业规章的约束。这些规定可能要求法人或主要负责人具备特定条件（如无犯罪记录、健康证明等）。若被执行刑罚的人不符合这些条件，按摩店可能无法获得或保持营业许可。
   • 例如，某些地区可能要求按摩店的法人必须是无犯罪记录的中国公民，且需通过相关部门的背景审查。若被执行刑罚的人无法满足这些要求，按摩店将无法营业。

3. 实际操作中的建议：

   • 了解具体刑罚与行业规定：首先，需要明确被执行刑罚的具体类型以及按摩店所在行业的特定规定。这有助于判断被执行刑罚的人是否具备担任法人的资格。
   • 咨询相关部门或律师：若对刑罚类型或行业规定存在疑问，建议咨询当地工商部门、行业主管部门或专业律师。他们可以提供更具体、更权威的指导。
   • 考虑法人变更：若被执行刑罚的人确实无法继续担任法人，且按摩店希望继续营业，可以考虑进行法人变更。这需要遵循相关法律法规和公司章程的规定，确保变更过程的合法性和有效性。

总结与建议：被执行刑罚的人担任按摩店法人时，按摩店是否能继续营业取决于多种因素，包括刑罚类型、行业特定规定以及实际操作中的合规性。建议先明确具体刑罚与行业规定，再咨询相关部门或律师以获取更具体的指导。若存在合规风险或无法满足行业要求，应考虑进行法人变更以确保按摩店的合法营业。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。