结论：做仿冒鞋子的工人被抓3天，能否请律师争取不留案底，这取决于案件的具体情况，包括是否构成犯罪、犯罪的严重程度以及是否符合免予刑事处罚或不起诉的条件等。但可以明确的是，请律师是争取合法权益的重要途径，律师可以提供专业的法律意见和辩护，帮助当事人争取最有利的结果。
分析：
案件性质与定罪：
- 制作仿冒鞋子可能涉及假冒注册商标罪或生产、销售伪劣产品罪等刑事犯罪。
- 是否构成犯罪，以及犯罪的严重程度，将直接影响是否会留下案底。如果行为不构成犯罪，或者犯罪情节轻微，可能不会留下案底。
律师的作用：
- 律师可以会见当事人，了解案件情况，提供法律咨询和辩护。
- 律师可以协助当事人收集证据，证明自己的无罪或罪轻情节。
- 律师可以与检察机关沟通，争取不起诉或免予刑事处罚，从而避免留下案底。
争取不留案底的可能性：
- 如果当事人确实不构成犯罪，或者犯罪情节显著轻微，律师可以积极辩护，争取检察机关作出不起诉决定。
- 如果当事人构成犯罪，但情节较轻，且符合免予刑事处罚的条件，律师也可以争取法院免予刑事处罚，这样也不会留下案底。
- 然而，如果当事人构成犯罪且情节严重，那么留下案底的可能性就较大。此时，律师的作用更多是确保当事人的合法权益得到保障，如争取从轻或减轻处罚等。
实际操作建议：
- 尽快聘请一位有经验的刑事辩护律师，以便及时了解案件情况，制定辩护策略。
- 配合律师的工作，提供必要的证据和信息，以便律师更好地为你辩护。
- 保持与律师的沟通，及时了解案件进展和可能的结果。
后续行动建议：
- 如果你或你的家人因为制作仿冒鞋子被抓，应尽快联系我，作为专业律师，我可以为你提供详细的法律咨询和辩护服务。
- 在等待律师的过程中，尽量保持冷静，不要采取任何可能加重罪责的行为。
- 准备好与案件相关的所有证据和信息，以便律师更好地了解案件情况，为你制定辩护策略。
法律背景：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，假冒注册商标罪和生产、销售伪劣产品罪等刑事犯罪都有明确的定罪和量刑标准。
- 检察机关在决定是否起诉时，会综合考虑犯罪情节、社会危害程度以及当事人的认罪态度等因素。
- 法院在判决时，也会根据犯罪事实、性质、情节和社会危害程度等因素，依法作出判决。
总之，请律师是争取合法权益的重要途径，但能否争取到不留案底的结果，还需要根据案件的具体情况来判断。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。