在劳动仲裁时未提供的证据，在后续起诉时提交，可能会产生以下法律后果，具体需分情况讨论：
证据被采纳，但可能影响证明力
- 法律背景：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》及相关民事诉讼法的规定，劳动争议案件经过仲裁后，当事人对仲裁裁决不服的，可以在规定期限内向人民法院提起诉讼。在诉讼阶段，当事人有权提交新的证据以支持其主张。
- 法律后果：若仲裁时未提交的证据在诉讼阶段被提交，且该证据与案件事实紧密相关，法院通常会予以采纳。然而，由于该证据未在仲裁阶段提交，仲裁庭未对其进行审查，这可能在一定程度上影响该证据在法院心中的证明力。法院在判断证据时，会综合考虑证据的真实性、合法性、关联性以及提交证据的时间点等因素。
证据可能因逾期提交而不被采纳
- 法律背景：根据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》，当事人应当在举证期限内提交证据材料。逾期提交的，人民法院可能不组织质证，但对方同意质证的除外。
- 法律后果：若当事人在诉讼阶段逾期提交仲裁时未提供的证据，且对方不同意质证，法院可能不会对该证据进行审查，从而不予采纳。这将导致当事人因证据不足而承担不利的法律后果。
可能面临对方当事人的质疑和反驳
- 法律背景：在诉讼阶段，对方当事人有权对提交的证据进行质证和反驳。
- 法律后果：若仲裁时未提交的证据在诉讼阶段被提交，对方当事人可能会对该证据的真实性、合法性、关联性提出质疑，甚至提供相反的证据进行反驳。这将增加当事人证明其主张的难度，甚至可能导致其主张不被法院支持。
针对上述情况，我给出以下法律建议：
- 及时收集并保存证据：在劳动争议发生后，当事人应及时收集并保存与案件事实相关的证据材料，包括但不限于劳动合同、工资单、工作证、考勤记录等。这些证据将在仲裁和诉讼阶段发挥重要作用。
- 在仲裁阶段充分举证：当事人应在仲裁阶段充分举证，确保仲裁庭能够全面、客观地了解案件事实。若因特殊原因无法在仲裁阶段提交某些证据，应在仲裁裁决作出前向仲裁庭说明情况，并争取在仲裁裁决作出后、诉讼阶段开始前补充提交。
- 在诉讼阶段合理举证：若仲裁阶段未提交的证据在诉讼阶段需要提交，当事人应在举证期限内提交，并说明逾期提交的原因。同时，应做好对方质证和反驳的准备，确保提交的证据能够经得起对方的质疑和反驳。
最后，我想强调的是，劳动争议案件的处理需要遵循法定程序和规定。当事人在处理劳动争议时，应充分了解相关法律法规和程序要求，确保自己的权益得到充分保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。