结论：老人撞伤人后，子女本身并没有直接的法定义务送老人撞伤的人到医院并支付住院费，但在特定情况下，子女可能因自愿承担或基于其他法律关系（如监护责任、继承遗产等）而需要承担相关费用。

分析说明：

1. 一般情况下的责任主体：

   • 在交通事故中，如果老人是完全民事行为能力人，那么撞伤他人后，责任主体通常是老人本人。这意味着，送伤者到医院并支付住院费的义务应由老人承担。

2. 子女可能承担责任的情形：

   • 自愿承担：子女出于道德或亲情考虑，可能自愿选择送伤者到医院并支付相关费用。这种情况下，子女的行为是出于自愿，而非法律义务。
   • 监护责任：如果老人是无民事行为能力人或限制民事行为能力人（如因老年痴呆等原因），且子女是其监护人，那么子女作为监护人可能需要承担送伤者就医并支付费用的责任。这是因为监护人有义务保护被监护人的合法权益，并防止其给他人造成损害。
   • 继承遗产：如果老人去世，且子女继承了其遗产，那么根据《民法典》的相关规定，子女在继承遗产的范围内可能需要承担老人生前因交通事故产生的债务，包括赔偿伤者的医疗费用等。但这种情况下的责任是有限的，仅限于继承遗产的范围内。

3. 法律建议：

   • 如果老人是完全民事行为能力人，且子女没有自愿承担相关费用，那么子女无需承担送伤者就医并支付费用的义务。但出于人道主义考虑，子女可以协助老人处理相关事宜。
   • 如果老人是无民事行为能力人或限制民事行为能力人，子女作为监护人应尽快采取措施送伤者就医，并支付相关费用。同时，子女应积极与伤者或其家属协商赔偿事宜，以避免法律纠纷。
   • 如果老人去世且子女继承了其遗产，子女应了解并遵守相关法律规定，在继承遗产的范围内承担老人生前因交通事故产生的债务。

后续行动建议：

• 如果遇到此类情况，建议首先确认老人的民事行为能力状态以及子女与老人之间的法律关系。
• 根据具体情况，与伤者或其家属进行协商，明确责任主体和赔偿事宜。
• 如有必要，可以寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到妥善保护。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。