如果被判处拘役的罪犯在服刑期间生病需要住院，处理方式主要依据其病情的严重程度以及是否符合保外就医的条件来决定。以下是对此问题的详细解答：

首先，我们要明确的是，保外就医是一项针对有严重疾病需要治疗的罪犯的监外执行制度，它体现了人道主义精神，是对生命健康权的尊重，同时也保障了罪犯依法接受医疗的权利。但这并不意味着，一旦生病就可以无条件地保外就医。

对于被判处拘役的罪犯，如果生病需要住院，应当首先向所在的看守所或执行机关报告病情，并提供相关的医疗证明。看守所或执行机关会根据罪犯的病情，结合医疗机构的诊断意见，进行综合评估。

如果罪犯的病情确实严重，达到了保外就医的条件，即符合《中华人民共和国刑事诉讼法》中关于保外就医的相关规定，如患有严重疾病需要保外就医的，那么看守所或执行机关会依法批准其暂予监外执行，以便罪犯能够及时得到医疗救治。

然而，如果罪犯的病情并未达到保外就医的严重程度，或者虽然病情严重但不符合保外就医的其他条件（如罪犯有社会危险性、可能逃避刑罚执行等），那么看守所或执行机关将不会批准其暂予监外执行。在这种情况下，罪犯需要在看守所或指定的医疗机构内接受治疗。

以您提供的案例为例，罪犯袁某因犯危险驾驶罪被判处拘役，后以身患严重疾病为由申请暂予监外执行。但经过司法鉴定和检察机关的核实，袁某的病情并未达到保外就医的严重程度，因此法院决定不准许其暂予监外执行。尽管袁某后来提供了肺部长有结节需进一步诊断的证明，但经过核实，其病情仍然不符合保外就医的条件，因此最终被收监执行刑罚。

总结来说，如果被判处拘役的罪犯生病需要住院，应当首先向看守所或执行机关报告病情并提供医疗证明。看守所或执行机关会根据病情和法律规定进行综合评估，决定是否批准其暂予监外执行。如果病情严重且符合保外就医条件，将依法批准；如果病情不严重或不符合条件，则将在看守所或指定医疗机构内接受治疗。