结论：公司第一个月没签劳动合同，确实可能会对公司产生一定影响，主要体现在可能面临支付双倍工资的风险以及可能被劳动行政部门责令改正等方面。

详细分析：

1. 双倍工资的风险：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果口腔医院在您入职的第一个月没有与您签订劳动合同，那么从第二个月开始，医院可能需要向您支付双倍的工资，直至签订劳动合同或满一年为止（若满一年仍未签订，则视为已订立无固定期限劳动合同）。

2. 劳动行政部门的责令改正：

   • 除了支付双倍工资的风险外，劳动行政部门还有权对未依法与劳动者签订劳动合同的用人单位进行责令改正。如果口腔医院被劳动行政部门发现未与您签订劳动合同，可能会面临被责令限期改正的处罚。

3. 对劳动者权益的影响及公司的潜在损失：

   • 未签订劳动合同还可能对劳动者的权益产生一定影响，如难以证明劳动关系、在发生劳动争议时可能面临举证困难等。虽然这些影响主要针对劳动者，但间接地，公司也可能因此面临法律纠纷和声誉损失。例如，如果劳动者因未签订劳动合同而主张更多权益，公司可能需要投入更多时间和资源来应对劳动争议。

4. 建议与措施：

   • 对于口腔医院而言，为了避免上述风险，应当尽快与您签订书面劳动合同。如果因特殊原因无法立即签订，也应当与您协商并达成一致意见，同时保留好相关证据以证明双方存在劳动关系及未签订劳动合同的原因。
   • 对于您个人而言，如果公司未与您签订劳动合同，您可以与公司沟通协商要求签订；如果公司拒绝签订或拖延签订，您可以向当地劳动行政部门投诉或申请劳动仲裁以维护自己的合法权益。

后续行动建议：

• 如果您已经入职口腔医院且第一个月未签订劳动合同，建议您先与公司沟通协商要求签订劳动合同。
• 如果公司拒绝或拖延签订，您可以收集好相关证据（如工作证、工资条、考勤记录等）以证明双方存在劳动关系，并向当地劳动行政部门投诉或申请劳动仲裁。
• 在整个过程中，如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。