农田撒粪异味的管理责任主要取决于具体情况，但一般来说，这主要涉及到环境保护和相邻权的问题，通常归环保部门或相关农业管理部门负责监管，同时可能涉及相邻关系纠纷的处理。以下从几个不同角度为你详细分析：
一、环保部门或农业管理部门的监管责任
环境保护角度：农田撒粪产生的异味如果超出了正常范围，对周边环境造成了污染，那么这就涉及到了环境保护的问题。根据《中华人民共和国环境保护法》等相关法律法规，环保部门有责任对环境污染行为进行监管和处罚。因此，如果农田撒粪异味严重，影响了周边居民的正常生活，可以向当地环保部门投诉，要求其进行调查和处理。
农业管理角度：农田撒粪是农业生产中的一种常见做法，但如果操作不当或过量使用，也可能对土壤和空气造成污染。农业管理部门有责任对农业生产活动进行指导和监管，确保农业生产活动符合环保要求。因此，如果农田撒粪异味问题与农业生产活动直接相关，也可以向当地农业管理部门反映情况，寻求其帮助和指导。
二、相邻关系纠纷的处理
相邻权角度：农田撒粪异味如果影响到了周边居民的正常生活，就可能构成对相邻权的侵犯。根据《中华人民共和国民法典》中关于相邻关系的规定，不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。如果农田撒粪异味严重干扰了周边居民的生活，受影响的居民可以与撒粪方进行协商，要求其采取措施减少异味；如果协商不成，还可以向法院提起诉讼，要求撒粪方承担相应的法律责任。
纠纷解决途径：在处理农田撒粪异味引发的相邻关系纠纷时，建议首先尝试通过协商、调解等非诉讼方式解决。这些方式具有灵活、高效、成本低等优点，有助于维护邻里关系的和谐稳定。如果非诉讼方式无法解决问题，再考虑通过诉讼途径解决。
三、实际操作建议
收集证据：如果农田撒粪异味问题严重，建议受影响的居民及时收集相关证据，如异味产生的时间、地点、强度等，以及因此造成的损失或影响等。这些证据将有助于后续维权或投诉时证明自己的主张。
及时沟通：在发现问题后，建议受影响的居民及时与撒粪方进行沟通，表达自己的关切和诉求。通过友好协商，往往能够找到双方都能接受的解决方案。
寻求帮助：如果沟通无果或问题无法得到妥善解决，建议受影响的居民及时向当地环保部门、农业管理部门或社区组织等寻求帮助和支持。这些机构或组织具有专业的知识和经验，能够提供有效的指导和帮助。
总结来说，农田撒粪异味的管理责任主要取决于具体情况和法律法规的规定。如果异味问题严重且影响了周边居民的正常生活，建议及时采取措施进行维权或投诉。同时，也希望各方能够加强沟通和理解，共同维护良好的邻里关系和生态环境。如果你还有其他关于农村土地或宅基地的法律问题，欢迎直接向我咨询。