结论：原连带担保人在企业向银行贷款签署延期协议时，是否可以不签字，这主要取决于原担保合同中的约定以及银行与企业的协商结果。以下从不同角度进行分析：

1. 原担保合同约定：

   • 如果原担保合同中明确规定了担保期限、担保方式以及担保人在贷款延期情况下的责任，那么担保人是否需要签字将直接受这些条款的约束。例如，若合同中约定“贷款延期需担保人书面同意”，则担保人必须签字，否则可能不承担延期后的担保责任。
   • 若原担保合同未对贷款延期情况作出明确约定，那么担保人是否签字则可能取决于银行与企业的协商以及担保人的个人意愿。

2. 银行与企业的协商：

   • 银行在考虑是否接受贷款延期时，会评估企业的还款能力、信用状况以及担保人的担保意愿和能力。如果银行认为延期后企业的还款能力仍然可靠，且担保人愿意继续提供担保，那么银行可能会要求担保人签字确认。
   • 如果银行认为延期后企业的还款能力存在不确定性，或者担保人不愿意继续提供担保，那么银行可能会拒绝延期申请，或者要求企业提供其他担保方式。

3. 担保人的个人意愿：

   • 担保人作为独立的民事主体，有权根据自己的意愿决定是否继续为企业的贷款提供担保。如果担保人认为延期后企业的还款能力无法保障，或者自己不再愿意承担担保责任，那么担保人可以选择不签字。
   • 但需要注意的是，如果担保人选择不签字，且银行因此拒绝延期申请或要求企业提供其他担保方式，这可能会对企业的融资计划和经营状况产生影响。

4. 法律后果：

   • 如果担保人未签字且银行接受了延期申请，但后续企业未能按时还款，银行在追偿时可能会面临一定的困难。因为担保人未签字确认延期后的担保责任，银行可能无法直接要求担保人承担还款责任。
   • 如果担保人签字确认了延期后的担保责任，但后续企业未能按时还款，银行则有权根据担保合同的约定要求担保人承担还款责任。

建议：

• 对于原连带担保人而言，在决定是否签字前，应仔细审查原担保合同中的条款，了解自己在贷款延期情况下的责任和义务。
• 同时，担保人应评估企业的还款能力和信用状况，以及自己承担担保责任的风险和后果。
• 如果担保人决定不签字，应与企业进行充分沟通，了解企业的融资计划和经营状况，以及银行可能采取的措施和后果。
• 如有需要，担保人可以咨询专业律师的意见，以便更好地维护自己的合法权益。

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