当当事人申请追加第三人时，法院会依据《中华人民共和国民事诉讼法》及其相关司法解释的规定，进行一系列严谨而细致的处理流程，以确保诉讼的公正性和效率性。以下是对这一处理流程的详细阐述：

一、申请提出与初步审查

1. 申请提出：

   • 当事人若认为案件的处理结果与其有法律上的利害关系，有权向人民法院提出追加第三人的申请。
   • 申请应以书面形式提交，并详细阐述追加第三人的理由及事实依据，以便法院进行初步审查。

2. 初步审查：

   • 法院在收到申请后，会首先进行形式审查，检查申请书是否符合法律规定的形式要求，如是否明确写明了被追加人的基本情况、追加的具体理由等。
   • 接着，法院会进行实质审查，判断申请是否有事实和法律依据，主要考察被追加的第三人是否与案件处理结果有法律上的利害关系，以及申请是否在适当的诉讼阶段提出。

二、通知被申请人与答辩

1. 通知被申请人：

   • 若法院经审查认为申请符合法定条件，会向被申请追加的第三人发出通知书，告知其作为第三人参加诉讼，并明确告知其在诉讼中的权利和义务。

2. 答辩与举证：

   • 第三人在收到通知书后，有权在法定期限内提交答辩状，对原告的诉讼请求及所依据的事实和理由进行反驳。
   • 同时，第三人还可以提供证据支持自己的主张，或对原告提供的证据进行质证，以维护自己的合法权益。

三、开庭审理与判决

1. 开庭审理：

   • 法院会将追加第三人的申请纳入庭审范围，组织双方当事人及第三人进行法庭调查和辩论。
   • 在法庭调查阶段，法院会查明案件事实，核实证据的真实性、合法性和关联性。
   • 在法庭辩论阶段，各方当事人可以就争议焦点发表意见，进行充分的辩论。

2. 作出判决：

   • 根据审理情况，法院会依法作出判决。
   • 如果第三人与案件存在法律上的利害关系，且其权利义务关系需要得到确认和保护，法院会在判决中明确第三人的责任和义务。

四、特殊情况下的处理

1. 无独立请求权第三人的处理：

   • 若第三人无独立请求权，但案件处理结果与其有法律上的利害关系，其可辅助一方当事人进行诉讼。
   • 若法院认为无独立请求权的第三人应当承担民事责任，可在判决中直接列明其应承担的责任。

2. 有独立请求权第三人的处理：

   • 若第三人有独立请求权，认为原被告之间的诉讼标的侵犯了自己的合法权益，可向法院提出独立的诉讼请求。
   • 法院会将原被告之间的诉讼和有独立请求权的第三人之诉合并审理，并根据各方当事人的诉讼请求和证据依法作出判决。

3. 必要共同诉讼人的追加：

   • 若必须共同进行诉讼的当事人没有参加诉讼，法院会通知其参加诉讼，以确保诉讼的完整性和公正性。

五、法律依据与救济途径

• 法律依据：法院的处理方式严格遵循《中华人民共和国民事诉讼法》第五十九条及《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民事诉讼法〉的解释》第八十一条等相关规定。
• 救济途径：若当事人对法院的处理决定不服，可通过复议等程序寻求救济，以维护自己的合法权益。

综上所述，法院在处理当事人申请追加第三人的问题时，会遵循严格的法律程序和规定，确保诉讼的公正性和效率性。当事人在申请时应提供充分的证据和理由支持其申请，而被追加的第三人也应积极配合法院的审理工作，履行相应的诉讼义务。