土地荒山不可以私自开挖。这一结论主要基于以下几点法律背景和建议：

1. 矿产资源开采的许可要求：

   • 荒山下的矿产资源属于国家所有，任何单位或个人若想开采，必须依法申请并取得采矿许可证。
   • 采矿许可证的申请条件严格，包括有经过批准的勘查报告、符合矿产资源规划、具备相应的开采技术条件和安全环保措施等。
   • 未经许可擅自开采矿产资源是违法行为，将面临责令停止开采、没收采出的矿产品和违法所得，并处罚款等处罚；情节严重的，还可能追究刑事责任。

2. 土地用途变更的审批：

   • 即使取得了采矿许可证，若开采过程中改变了荒山原来的土地用途（如从林业用地变为采矿用地），还需按照土地管理法等相关法律规定，办理土地用途变更审批手续。
   • 未经批准擅自改变土地用途，同样可能面临法律责任。

3. 其他形式开采活动的限制：

   • 除了矿产资源开采外，其他形式的开采活动（如采石、取土等）也不能随意进行。
   • 若因特殊需要进行这类活动，首先要判断是否符合承包合同约定。合同无相关约定时，需向当地的自然资源部门、林业部门等提出申请，说明开采的必要性、范围、规模以及对生态环境的影响等情况。
   • 经批准并办理相关手续后，方可进行开采活动。

4. 法律后果与建议：

   • 私自开挖荒山不仅可能面临行政处罚，还可能对生态环境造成破坏，进而承担民事赔偿责任。
   • 在进行任何形式的开采活动前，务必明确了解并遵守相关法律法规和环保要求。确保已获得合法的探矿权或采矿权（如适用），并办理好土地用途变更审批手续（如需要）。
   • 与荒山所在地的政府或相关机构进行充分协商，确保开采活动不会损害当地的环境和生态利益。

举例说明：假设某村民承包了一片荒山，想开采山下的矿石以获取经济利益。但他没有依法申请采矿许可证，也没有办理土地用途变更审批手续，就擅自进行了开采。这种行为就是违法的，一旦被发现，将面临法律的制裁。

总结与建议：土地荒山不可以私自开挖，无论是开采矿产资源还是进行其他形式的开采活动，都必须依法办理相关审批手续。如果您有关于荒山开采或土地使用的法律问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。