结论：在培训机构未签协议但发了电子短信的情况下，能否申请退款取决于短信内容、双方实际履行情况以及相关法律法规的规定。以下从不同角度进行分析：

一、短信内容的法律效力

1. 合同成立与内容：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同可以通过书面形式、口头形式或其他形式订立。电子短信作为数据电文，在符合一定条件下（如双方认可、内容明确等）可以视为书面合同的一种形式。
   • 如果电子短信中明确约定了培训服务的内容、费用、退款政策等关键条款，且双方对此无异议，那么该短信即构成双方之间的合同，具有法律效力。

2. 退款条款的明确性：

   • 若短信中明确规定了退款的条件、流程和时限，且这些条款不违反法律法规的强制性规定，那么培训机构应按照短信中的约定履行退款义务。
   • 若短信中未明确提及退款政策，或退款政策模糊不清，则可能需要根据相关法律法规和双方实际履行情况来判断。

二、双方实际履行情况

1. 服务提供情况：

   • 如果培训机构已经按照短信中的约定提供了部分或全部培训服务，且用户未提出异议，那么用户可能难以直接要求全额退款。
   • 若培训机构未提供或仅提供了部分服务，且用户因此要求退款，那么培训机构应根据实际情况和短信中的约定（如有）来处理退款事宜。

2. 用户支付情况：

   • 用户是否已支付全部或部分培训费用也是影响退款的重要因素。如果用户已支付费用但未接受服务，或接受的服务与约定不符，那么用户有权要求退款。

三、相关法律法规的规定

1. 消费者权益保护法：

   • 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，消费者在购买商品或接受服务时享有知情权、选择权、公平交易权等权利。如果培训机构未履行告知义务或提供虚假信息，导致用户权益受损，用户有权要求退款或赔偿。

2. 民法典合同编：

   • 《中华人民共和国民法典》合同编规定了合同的订立、履行、变更和终止等事项。如果培训机构未按照合同约定履行义务，用户有权要求解除合同并退款。

四、建议与行动

1. 与培训机构协商：

   • 首先，建议用户与培训机构进行友好协商，明确退款政策和流程，并尽量达成一致意见。

2. 收集证据：

   • 如果协商无果，用户应收集相关证据（如电子短信、支付凭证、服务记录等），以证明自己的权益受损和退款请求的合理性。

3. 寻求法律援助：

   • 若培训机构拒绝退款或处理不当，用户可以向当地消费者协会投诉或寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。

总结：在培训机构未签协议但发了电子短信的情况下，能否申请退款需综合考虑短信内容、双方实际履行情况以及相关法律法规的规定。如果短信中明确规定了退款政策且符合法律法规要求，用户有权要求培训机构按照约定退款。若协商无果或培训机构拒绝退款，用户可以通过法律途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。