若您亲戚被错误羁押九个月后被判无罪，属于冤假错案，可依法申请国家赔偿，赔偿范围包括人身自由赔偿金及可能的精神损害抚慰金。具体分析如下：

1. 赔偿依据
   根据《中华人民共和国国家赔偿法》第十七条，行使侦查、检察、审判职权的机关及其工作人员在行使职权时，对没有犯罪事实的人错误拘留、逮捕或错误判决有罪并已执行刑罚的，受害人有取得赔偿的权利。您亲戚被羁押九个月后被判无罪，符合该条款的赔偿条件。

2. 赔偿范围及计算标准

   • 人身自由赔偿金：
     根据《国家赔偿法》第三十三条，侵犯公民人身自由的，每日赔偿金按照国家上年度职工日平均工资计算。例如，若2023年职工日平均工资为436.89元（以国家统计局公布数据为准），则九个月的赔偿金为：
     \(436.89元/日 \times 270日（9个月按30日/月估算）= 117,960.3元\)
     实际计算需以国家统计局公布的最新日平均工资及具体羁押天数为准。
     
   • 精神损害抚慰金：
     根据《国家赔偿法》第三十五条，若错误羁押造成严重精神损害，可主张精神损害抚慰金。赔偿金额需结合羁押时间、社会影响、受害人精神损害程度等因素综合判定，实践中通常为人均自由赔偿金的10%-50%，但无固定标准，需通过协商或诉讼确定。

3. 赔偿义务机关

   • 若案件处于侦查阶段（如被公安机关错误拘留），赔偿义务机关为作出拘留决定的机关；
     
   • 若案件进入审查起诉阶段（如被检察院错误逮捕），赔偿义务机关为作出逮捕决定的检察院；
     
   • 若案件进入审判阶段（如被法院错误判决有罪），赔偿义务机关为作出有罪判决的法院。
     实践中，若多个机关均存在过错，受害人可向其中任一机关申请赔偿，该机关赔偿后有权向其他责任机关追偿。

4. 申请流程

   • 提交申请：向赔偿义务机关提交书面赔偿申请，载明受害人基本信息、事实与理由、赔偿请求及证据材料（如无罪判决书、释放证明等）。
     
   • 机关审查：赔偿义务机关应在收到申请后两个月内作出赔偿决定；逾期未作决定或对决定不服的，可自期限届满之日起三十日内向其上一级机关申请复议。
     
   • 复议或诉讼：对复议决定不服的，可自收到复议决定之日起三十日内向复议机关所在地的同级人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定；若未申请复议，可直接向法院赔偿委员会申请赔偿。

5. 注意事项

   • 时效限制：国家赔偿请求时效为两年，自知道或应当知道国家机关及其工作人员行使职权时的行为侵犯人身权、财产权之日起计算。
     
   • 证据保留：务必保留无罪判决书、释放证明、羁押期间的相关法律文书等，作为申请赔偿的核心证据。
     
   • 专业协助：若对赔偿金额、程序或证据材料有疑问，可进一步向我咨询，我将结合具体案情提供详细指导。

建议：您亲戚可先向最后作出有罪判决的法院提交赔偿申请，并同步准备精神损害抚慰金的证据材料（如心理评估报告、社会影响证明等）。若对赔偿金额或程序有争议，可随时向我咨询，我将协助制定最优维权方案。